Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 42)

Taxas relacionadas é um conceito da matemática que nos ajuda a entender como a velocidade de mudança de uma coisa (como o raio de um círculo) afeta a velocidade de mudança de outra coisa (como a área desse mesmo círculo), quando essas coisas estão conectadas por uma fórmula. Usamos a regra da cadeia da derivação para fazer essa conexão.

Cálculo:

1. A área de um círculo é dada por $A = \pi r^2$.
2. Queremos encontrar a velocidade com que a área cresce ($dA/dt$), sabendo a velocidade com que o raio cresce ($dr/dt$).
3. Derivamos a fórmula da área em relação ao tempo ($t$), usando a regra da cadeia:
   $dA/dt = d/dt (\pi r^2)$
   $dA/dt = \pi * 2r * dr/dt$
   dA/dt = 2\pi r (dr/dt)\
4. Substituímos os valores dados: $r = 2$ cm e $dr/dt = 0,01$ cm/s.
   $dA/dt = 2\pi (2) (0,01)$
   $dA/dt = 4\pi (0,01)$
   $dA/dt = 0,04\pi$ cm²/s

(A) Incorreta: Esta alternativa ($0,01\pi$) resultaria de um erro de cálculo, talvez ignorando o fator $2r$ da derivada ou multiplicando apenas $dr/dt$ por $\pi$.
(B) Incorreta: Esta alternativa ($0,02\pi$) é um distrator comum. A armadilha da banca aqui é que o aluno pode ter feito $2\pi \times dr/dt$ (esquecendo de multiplicar pelo raio $r$) ou $r \times dr/dt \times \pi$, que daria $2 \times 0,01 \times \pi = 0,02\pi$. Ambas as abordagens ignoram parte da fórmula correta $2\pi r (dr/dt)$.
(C) Correta: A velocidade com que a área cresce é $dA/dt = 2\pi r (dr/dt)$. Substituindo $r=2$ cm e $dr/dt=0,01$ cm/s, obtemos $dA/dt = 2\pi (2)(0,01) = 4\pi(0,01) = 0,04\pi$ cm²/s.
(D) Incorreta: Esta alternativa ($0,08\pi$) seria o dobro do valor correto, indicando um erro de multiplicação por 2 em algum ponto do cálculo.
(E) Incorreta: Esta alternativa ($0,1\pi$) não corresponde a nenhum erro comum na aplicação da fórmula de taxas relacionadas para a área do círculo.