Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 44)

Um triângulo é retângulo se um de seus ângulos internos mede 90 graus. Em geometria analítica, isso acontece quando os dois vetores que formam esse ângulo são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Para verificar, calculamos os vetores que representam os lados e então o produto escalar dos pares de vetores que partem de cada vértice.

Primeiro, calculamos os vetores dos lados:
$\vec{AB} = B - A = \left(1-1, \frac{1}{2}-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right) = \left(0, -1, -1\right)$
$\vec{AC} = C - A = \left(1-1, 1-\frac{3}{2}, -1-\frac{1}{2}\right) = \left(0, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)$
$\vec{BC} = C - B = \left(1-1, 1-\frac{1}{2}, -1-(-\frac{1}{2})\right) = \left(0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Agora, verificamos o produto escalar para cada vértice:

• Ângulo em A: Usamos $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
  $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(0) + (-1)\left(-\frac{1}{2}\right) + (-1)\left(-\frac{3}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
  Como $2 \neq 0$, o ângulo em A não é reto. Como $2 > 0$, o ângulo é agudo.

• Ângulo em B: Usamos $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$.
  $\vec{BA} = A - B = -\vec{AB} = \left(0, 1, 1\right)$.
  $\vec{BC} = \left(0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$.
  $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (0)(0) + (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.
  Como $0 = 0$, o ângulo em B é reto (90 graus).

• Ângulo em C: Usamos $\vec{CA}$ e $\vec{CB}$.
  $\vec{CA} = A - C = -\vec{AC} = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$.
  $\vec{CB} = B - C = -\vec{BC} = \left(0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
  $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (0)(0) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = 0 - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
  Como $\frac{1}{2} \neq 0$, o ângulo em C não é reto. Como $\frac{1}{2} > 0$, o ângulo é agudo.

(A) Incorreta: O produto escalar dos vetores que formam o ângulo em A ($\vec{AB} \cdot \vec{AC}$) é 2, não zero, então não é retângulo em A.
(B) Correta: O produto escalar dos vetores que formam o ângulo em B ($\vec{BA} \cdot \vec{BC}$) é 0, indicando que os vetores são perpendiculares e o ângulo em B é de 90 graus.
(C) Incorreta: O produto escalar dos vetores que formam o ângulo em C ($\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) é $\frac{1}{2}$, não zero, então não é retângulo em C.
(D) Incorreta: Um dos ângulos (em B) é reto (90 graus), não agudo. A armadilha é esquecer que um ângulo reto não é classificado como agudo.
(E) Incorreta: Nenhum dos ângulos é obtuso (produto escalar negativo) e um deles é reto.