Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 50)

O volume de um tetraedro pode ser calculado como um sexto do valor absoluto do produto misto (ou produto escalar triplo) de três vetores que partem de um mesmo vértice e formam as arestas do tetraedro. O produto misto é o determinante da matriz formada pelas coordenadas desses vetores.

• (A) Incorreta: O valor 24 seria metade do valor absoluto do determinante, que representaria o volume de um prisma triangular ou metade do volume do paralelepípedo formado pelos vetores, mas não do tetraedro.
• (B) Incorreta: O valor 16 é um terço do valor absoluto do determinante. A armadilha aqui é confundir o fator $\frac{1}{6}$ para o volume do tetraedro (derivado do produto misto) com o fator $\frac{1}{3}$ da fórmula geral do volume de uma pirâmide ($V = \frac{1}{3} \times \text{Área da Base} \times \text{Altura}$). Embora um tetraedro seja uma pirâmide, o determinante já engloba a relação entre a base e a altura de forma que o divisor correto para o volume do tetraedro é 6.
• (C) Incorreta: O valor 12 não corresponde à aplicação correta da fórmula do volume do tetraedro.
• (D) Correta: Primeiro, escolhemos um vértice como origem, por exemplo, $A(1; 2; 3)$, e formamos os vetores para os outros vértices:
  • $\vec{AB} = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)$
  • $\vec{AC} = C - A = (7-1, 2-2, 1-3) = (6, 0, -2)$
  • $\vec{AD} = D - A = (2-1, 4-2, 8-3) = (1, 2, 5)$
    Em seguida, calculamos o produto misto (determinante da matriz formada por esses vetores):
    $V_{paralelepípedo} = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \ 6 & 0 & -2 \ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
    $= 3(0 \cdot 5 - (-2) \cdot 2) - 3(6 \cdot 5 - (-2) \cdot 1) + 3(6 \cdot 2 - 0 \cdot 1)$
    $= 3(0 + 4) - 3(30 + 2) + 3(12 - 0)$
    $= 3(4) - 3(32) + 3(12)$
    $= 12 - 96 + 36$
    $= -48$
    O volume do tetraedro é $\frac{1}{6}$ do valor absoluto do produto misto:
    $V_{tetraedro} = \frac{1}{6} | -48 | = \frac{48}{6} = 8$.
• (E) Incorreta: O valor 4 seria um doze avos do valor absoluto do determinante, o que não corresponde à fórmula do volume do tetraedro.