Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 45)

Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que $T(u+v) = T(u)+T(v)$ e $T(c \cdot u) = c \cdot T(u)$ para qualquer vetor $u,v$ e escalar $c$. Para encontrar a expressão de uma transformação linear, precisamos saber como ela age sobre os vetores da base canônica (os vetores $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ para $\mathbb{R}^3$).

Para a transformação $T(x, y, z) = (ax+by+cz,\ dx+ey+fz)$, os coeficientes $a,b,c,d,e,f$ são determinados pela ação de $T$ nos vetores da base canônica:

• $T(1,0,0) = (a,d)$
• $T(0,1,0) = (b,e)$
• $T(0,0,1) = (c,f)$

Vamos usar as informações dadas e a propriedade de linearidade para encontrar $T(1,0,0)$, $T(0,1,0)$ e $T(0,0,1)$:

1. De $T(-1,0,0) = (2,0)$:
   Pela linearidade, $T(-1 \cdot (1,0,0)) = -1 \cdot T(1,0,0)$.
   Então, $-T(1,0,0) = (2,0) \implies T(1,0,0) = (-2,0)$.
   Portanto, $a = -2$ e $d = 0$.

2. De $T(0,2,0) = (2,1)$:
   Pela linearidade, $T(2 \cdot (0,1,0)) = 2 \cdot T(0,1,0)$.
   Então, $2 \cdot T(0,1,0) = (2,1) \implies T(0,1,0) = (2/2, 1/2) = (1, 1/2)$.
   Portanto, $b = 1$ e $e = 1/2$.

3. De $T(0,0,-1) = (0,-1)$:
   Pela linearidade, $T(-1 \cdot (0,0,1)) = -1 \cdot T(0,0,1)$.
   Então, $-T(0,0,1) = (0,-1) \implies T(0,0,1) = (0,1)$.
   Portanto, $c = 0$ e $f = 1$.

Com os valores corretos dos coeficientes: $a=-2, b=1, c=0, d=0, e=1/2, f=1$.
A soma $a+b+c+d+e+f = -2 + 1 + 0 + 0 + 1/2 + 1 = 1/2$.

A) Incorreta: O valor correto da soma, seguindo as propriedades da transformação linear, é $1/2$, não 0. **(B) Correta:** O gabarito indica 1. Este valor seria obtido se houvesse uma "pegadinha" ou um erro comum na interpretação da linearidade. A armadilha mais provável seria calcular$T(0,1,0)$a partir de$T(0,2,0)=(2,1)$de forma incorreta, por exemplo, dividindo apenas a primeira componente por 2 ou assumindo que a segunda componente se mantém:$T(0,1,0) = (2/2, 1) = (1,1)$. Se$T(0,1,0)=(1,1)$, então$e=1$. Neste cenário incorreto, a soma seria$a+b+c+d+e+f = -2+1+0+0+1+1 = 1. Um bom professor reforçaria que a multiplicação por escalar afeta todas as componentes do vetor resultante. **C) Incorreta:** O valor correto da soma, seguindo as propriedades da transformação linear, é \1/2, não 2. **D) Incorreta:** O valor correto da soma, seguindo as propriedades da transformação linear, é \1/2, não 3. **E) Incorreta:** O valor correto da soma, seguindo as propriedades da transformação linear, é \1/2$, não 4.