Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 49)

Para calcular integrais de funções racionais (frações de polinômios), o primeiro passo é verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. Se for, usamos a divisão de polinômios para simplificar a fração. Em seguida, aplicamos a decomposição em frações parciais para quebrar a fração em termos mais simples, que são fáceis de integrar.

Vamos resolver a integral $\int_{3}^{5} \frac{x^2+2}{x^2-3x+2}\, dx$:

1. Divisão de Polinômios: Como o grau do numerador ($x^2+2$) é igual ao grau do denominador ($x^2-3x+2$), dividimos:
   \frac{x^2+2}{x^2-3x+2} = 1 + \frac{3x}{x^2-3x+2}\

2. Fatoração do Denominador: Fatoramos o denominador $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.

3. Decomposição em Frações Parciais: Agora, decompomos a fração restante:
   $\frac{3x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$
   Multiplicando ambos os lados por $(x-1)(x-2)$:
   $3x = A(x-2) + B(x-1)$Para$x=1$:$3(1) = A(1-2) \Rightarrow 3 = -A \Rightarrow A = -3$. Para$x=2$:$3(2) = B(2-1) \Rightarrow 6 = B \Rightarrow B = 6$. Assim,$\frac{3x}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3}{x-1} + \frac{6}{x-2}$.

4. Reescrever a Integral: A integral original se torna:
   \int_{3}^{5} \left(1 - \frac{3}{x-1} + \frac{6}{x-2}\right) dx\

5. Integrar:
   \int \left(1 - \frac{3}{x-1} + \frac{6}{x-2}\right) dx = x - 3 \ln|x-1| + 6 \ln|x-2| + C\

6. Avaliar a Integral Definida: Aplicamos os limites de integração de 3 a 5:
   $[x - 3 \ln|x-1| + 6 \ln|x-2|]_{3}^{5}$
   $= (5 - 3 \ln|5-1| + 6 \ln|5-2|) - (3 - 3 \ln|3-1| + 6 \ln|3-2|)$
   $= (5 - 3 \ln 4 + 6 \ln 3) - (3 - 3 \ln 2 + 6 \ln 1)$
   Lembrando que $\ln 1 = 0$:
   $= (5 - 3 \ln 4 + 6 \ln 3) - (3 - 3 \ln 2)$
   $= 5 - 3 \ln 4 + 6 \ln 3 - 3 + 3 \ln 2$
   = 2 - 3 \ln 4 + 6 \ln 3 + 3 \ln 2\

7. Simplificar Logaritmos: Usamos a propriedade $\ln(a^b) = b \ln a$, então $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$.
   $= 2 - 3(2 \ln 2) + 6 \ln 3 + 3 \ln 2$
   $= 2 - 6 \ln 2 + 6 \ln 3 + 3 \ln 2$
   Combinando os termos com $\ln 2$:
   $= 2 + 6 \ln 3 + (-6 \ln 2 + 3 \ln 2)$
   $= 2 + 6 \ln 3 - 3 \ln 2$

(A) Correta: O cálculo detalhado acima resulta em $2 + 6 \ln 3 - 3 \ln 2$, que corresponde exatamente a esta alternativa.
(B) Incorreta: O coeficiente de $\ln 3$ está incorreto (3 em vez de 6), indicando um possível erro na decomposição em frações parciais ou na avaliação do termo $B$.
(C) Incorreta: O termo constante está incorreto (3 em vez de 2), sugerindo um erro na subtração dos termos constantes da avaliação da integral definida ($5-3=2$). **(D) Incorreta:** O coeficiente de$\ln 2$está incorreto (-6 em vez de -3). A armadilha aqui é que o estudante pode ter simplificado$-3 \ln 4$para$-6 \ln 2$e esquecido de somar o termo$+3 \ln 2$vindo da avaliação do limite inferior, ou cometeu um erro de sinal ao combiná-los. **(E) Incorreta:** Esta alternativa é equivalente à (D) se$\ln 4$for simplificado para$2 \ln 2$. Ela representa o resultado antes da simplificação final dos termos logarítmicos, ou seja, se o termo$+3 \ln 2$do limite inferior for ignorado e$\ln 4$não for simplificado e combinado com outros termos de$\ln 2$.