Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 69)

Um modelo MA(q) (Média Móvel de ordem q) descreve uma série temporal como uma combinação linear de ruídos brancos passados e presentes. O ruído branco ($\epsilon_t$) é um choque aleatório sem correlação entre si, com média zero e variância constante ($\sigma_\epsilon^2$). A autocovariância ($\gamma_s$) mede a relação linear entre uma observação da série e uma observação defasada 's' períodos.

Para o modelo MA(2) $Y_t = \epsilon_t - k\epsilon_{t-1} + 0,5\epsilon_{t-2}$, com $E(\epsilon_t) = 0$ e $V(\epsilon_t) = \sigma_\epsilon^2 = 2$:
A autocovariância no lag 1, $\gamma_1$, é calculada como $E[Y_t Y_{t-1}]$.
Substituindo $Y_t$ e $Y_{t-1} = \epsilon_{t-1} - k\epsilon_{t-2} + 0,5\epsilon_{t-3}$:
$\gamma_1 = E[(\epsilon_t - k\epsilon_{t-1} + 0,5\epsilon_{t-2})(\epsilon_{t-1} - k\epsilon_{t-2} + 0,5\epsilon_{t-3})]$
Ao expandir o produto, os únicos termos que não se anulam (devido à propriedade de que $E[\epsilon_i\epsilon_j] = 0$ para $i \neq j$, e $E[\epsilon_i^2] = \sigma_\epsilon^2$) são:

1. E[(-k\epsilon_{t-1})(\epsilon_{t-1})] = -k E[\epsilon_{t-1}^2] = -k\sigma_\epsilon^2\
2. $E[(0,5\epsilon_{t-2})(-k\epsilon_{t-2})] = -0,5k E[\epsilon_{t-2}^2] = -0,5k\sigma_\epsilon^2$
   Somando esses termos, obtemos $\gamma_1 = -k\sigma_\epsilon^2 - 0,5k\sigma_\epsilon^2 = -1,5k\sigma_\epsilon^2$.
   Dado que $\gamma_1 = -0,75$ e $\sigma_\epsilon^2 = 2$:
   $-0,75 = -1,5k(2)$
   $-0,75 = -3k$
   $k = \frac{-0,75}{-3} = 0,25$.

(A) Incorreta: O valor de k não é 0,15.
(B) Correta: O valor de k é 0,25, obtido ao igualar a expressão teórica da autocovariância de lag 1 ($\gamma_1 = -1,5k\sigma_\epsilon^2$) ao valor fornecido (-0,75) e usando a variância do ruído branco ($\sigma_\epsilon^2 = 2$).
(C) Incorreta: O valor de k não é 0,45.
(D) Incorreta: O valor de k não é 0,65.
(E) Incorreta: O valor de k não é 0,75. Este é o distrator mais tentador, pois pode ser resultado de um erro comum ao esquecer o fator de 1,5 na fórmula da autocovariância ou a variância do ruído branco ($\sigma_\epsilon^2 = 2$), levando a uma simplificação incorreta como $k = |\gamma_1|$.