Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 65)

A distribuição de Poisson modela a contagem de eventos em um intervalo de tempo ou espaço, sendo caracterizada por um único parâmetro $\lambda$ (lambda), que representa a taxa média de ocorrência. A Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) para $\lambda$ em uma distribuição de Poisson é simplesmente a média amostral dos dados observados.

Para resolver a questão:

1. Estimar $\lambda$ (taxa por hora): As observações são 3, 2, 1, 1, 3 denúncias/hora.
   A média amostral é $\hat{\lambda} = \frac{3+2+1+1+3}{5} = \frac{10}{5} = 2$ denúncias por hora.
2. Ajustar $\lambda$ para o novo período: A pergunta se refere às "próximas 2 horas". Se a taxa média é de 2 denúncias por hora, para um período de 2 horas, a nova taxa média será $\lambda' = 2 \times \hat{\lambda} = 2 \times 2 = 4$.
3. Calcular a probabilidade: Queremos a probabilidade de que cheguem "ao menos 2 denúncias" nas próximas 2 horas. Isso significa $P(X \ge 2)$ para uma distribuição de Poisson com $\lambda' = 4$.
   É mais fácil calcular $1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$. A função de probabilidade de Poisson é$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda'} (\lambda')^k}{k!}$.$P(X=0) = \frac{e^{-4} (4)^0}{0!} = e^{-4}$$P(X=1) = \frac{e^{-4} (4)^1}{1!} = 4e^{-4}$Portanto,$P(X \ge 2) = 1 - (e^{-4} + 4e^{-4}) = 1 - 5e^{-4}$. Utilizando o valor de$e^{-4} \approx 0,0183156$:$P(X \ge 2) = 1 - 5 \times 0,0183156 = 1 - 0,091578 = 0,908422$.
   Arredondando para duas casas decimais, obtemos 0,91.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(B) Incorreta: Esta alternativa (0,14) seria aproximadamente $P(X=2)$ para o período de 2 horas ($P(X=2 | \lambda'=4) = \frac{e^{-4} 4^2}{2!} = 8e^{-4} \approx 8 \times 0,0183156 \approx 0,1465$). A questão pede "ao menos 2 denúncias", que é $P(X \ge 2)$, não $P(X=2)$.
(C) Incorreta: Esta alternativa (0,59) seria o resultado se o parâmetro $\lambda$ não fosse ajustado para o período de 2 horas, ou seja, se fosse calculado $P(X \ge 2)$ para $\lambda=2$ (período de 1 hora). Nesse caso, $P(X \ge 2 | \lambda=2) = 1 - (e^{-2} + 2e^{-2}) = 1 - 3e^{-2} \approx 1 - 3 \times 0,135335 \approx 1 - 0,4060 = 0,594$. Esta é a principal armadilha da banca, pois exige atenção ao período de tempo.
(D) Correta: Conforme os cálculos acima, a estimativa de máxima verossimilhança para a probabilidade é de aproximadamente 0,91.
(E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.