Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 64)

A Lei dos Grandes Números afirma que a média de uma amostra grande e independente de variáveis aleatórias se aproxima do valor esperado (média populacional) da distribuição dessas variáveis. Uma variável com distribuição lognormal $X_i$ tem a propriedade de que seu logaritmo natural, $\ln(X_i)$, segue uma distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$.

(A) Incorreta: Este é o estimador da média de $X_i$, que pela Lei dos Grandes Números converge para $E[X_i]$. Para uma distribuição lognormal, $E[X_i] = e^{\mu + \sigma^2/2}$, que não é $\mu$. Esta é a armadilha da banca, pois é o estimador mais comum da média, mas não da média do logaritmo que define $\mu$ na lognormal.
(B) Incorreta: Este é o estimador da média de $X_i^2$, que converge para $E[X_i^2]$. Para uma distribuição lognormal, $E[X_i^2] = e^{2\mu + 2\sigma^2}$, que não é $\mu$.
(C) Incorreta: Este é o estimador da média de $e^{X_i}$, que converge para $E[e^{X_i}]$, o que não é $\mu$.
(D) Correta: Se $X_i$ segue uma distribuição lognormal com parâmetros $\mu$ e $\sigma^2$, então $\ln(X_i)$ segue uma distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. Pela Lei dos Grandes Números, a média amostral de $\ln(X_i)$, ou seja, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln(X_i)$, converge em probabilidade para a média populacional de $\ln(X_i)$, que é $\mu$. Portanto, este é um estimador consistente para $\mu$.
(E) Incorreta: Este é o estimador da média de $(\ln(X_i))^2$, que converge para $E[(\ln(X_i))^2]$. Como $\ln(X_i) \sim N(\mu, \sigma^2)$, $E[(\ln(X_i))^2] = Var(\ln(X_i)) + (E[\ln(X_i)])^2 = \sigma^2 + \mu^2$, que não é $\mu$.