Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 66)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de uma faixa de valores onde esperamos que o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (como a variância) esteja, com uma certa probabilidade (o nível de confiança). Para a variância de uma população com distribuição normal, usamos a distribuição qui-quadrado ($\chi^2$) para construir esse intervalo.

Para calcular o intervalo de confiança para a variância ($\sigma^2$), utilizamos a fórmula:
$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$
Onde:

• $n$ é o tamanho da amostra (11 dias).
• $s^2$ é a variância amostral (19,7).
• $n-1$ são os graus de liberdade (11 - 1 = 10).
• $\alpha$ é o nível de significância (1 - nível de confiança = 1 - 0,90 = 0,10).
• $\alpha/2$ é a probabilidade na cauda superior (0,10 / 2 = 0,05).
• $1-\alpha/2$ é a probabilidade na cauda inferior (1 - 0,05 = 0,95).
• $\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ e $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado.

Para o limite superior do intervalo de confiança, usamos o valor crítico da qui-quadrado correspondente à cauda inferior, ou seja, $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$.
Consultando a tabela fornecida para 10 graus de liberdade:

• $\chi^2_{0.95, 10} = 3.940$.

Agora, calculamos o limite superior:
Limite Superior = $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} = \frac{(10) \times 19,7}{3.940} = \frac{197}{3.940} \approx 50,00$.

(A) Incorreta: O valor de 35 não corresponde ao cálculo do limite superior do intervalo de confiança para a variância.
(B) Incorreta: O valor de 40 não corresponde ao cálculo do limite superior do intervalo de confiança para a variância.
(C) Incorreta: O valor de 45 não corresponde ao cálculo do limite superior do intervalo de confiança para a variância.
(D) Correta: O limite superior do intervalo de confiança de 90% para a variância é 50, calculado usando a fórmula $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$, com $n-1=10$, $s^2=19,7$ e $\chi^2_{0.95, 10}=3.940$.
(E) Incorreta: O valor de 55 não corresponde ao cálculo do limite superior do intervalo de confiança para a variância.