Questão de Estatística · FGV CGE-SP 2025 (nº 106)

As propriedades dos estimadores nos ajudam a avaliar a qualidade de uma estatística amostral (o estimador) para prever um parâmetro populacional. Um estimador é não tendencioso se sua média (valor esperado) for igual ao parâmetro que ele estima, caso contrário, é tendencioso.

• (A) Correta: $\bar{X}$ é o estimador da média populacional $\mu$. O valor esperado de $\bar{X}$ é $E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum X_i\right] = \frac{1}{n}\sum E[X_i] = \frac{1}{n}\sum \mu = \frac{n\mu}{n} = \mu$. Como $E[\bar{X}] = \mu$, ele é um estimador não tendencioso de $\mu$.
• (B) Incorreta: $S^2$ é o estimador da variância populacional $\sigma^2$. É um resultado padrão que, para uma amostra aleatória simples, $E[S^2] = E\left[\frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1}\right] = \sigma^2$. Portanto, $S^2$ é um estimador não tendencioso de $\sigma^2$. A armadilha aqui é confundir $S^2$ com a variância amostral com denominador $n$, que seria tendenciosa.
• (C) Incorreta: Para uma amostra aleatória simples extraída de uma população com distribuição normal, o estimador da média amostral ($\bar{X}$) e o estimador da variância amostral ($S^2$) são independentes. Se duas variáveis aleatórias são independentes, elas são não correlacionadas (coeficiente de correlação igual a zero). Portanto, $\bar{X}$ e $S^2$ não são correlacionados.