Questão de Estatística · FGV CGE-SP 2025 (nº 105)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um intervalo de valores que provavelmente contém o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (como a média), com um certo nível de confiança (a probabilidade de que o intervalo contenha o parâmetro).

Para calcular o intervalo de 95% de confiança para a média $\mu$ de uma população normal com variância conhecida, usamos a fórmula:
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral.
• $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado (para 95%, $Z_{0.025} = 1.96$).
• $\sigma$ é o desvio padrão da população.
• $n$ é o tamanho da amostra.

Dados do problema:

• Média amostral ($\bar{x}$) = 250
• Variância ($\sigma^2$) = 400 $\implies$ Desvio padrão ($\sigma$) = $\sqrt{400} = 20$
• Tamanho da amostra ($n$) = 100
• $Z_{\alpha/2}$ para 95% de confiança = 1,96 (dado no problema)

Primeiro, calculamos o erro padrão da média:
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2$

Em seguida, calculamos a margem de erro:
$Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 2 = 3.92$

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
$\bar{x} \pm \text{Margem de Erro} = 250 \pm 3.92$
Limite Inferior: $250 - 3.92 = 246.08 Limite Superior: \250 + 3.92 = 253.92$

O intervalo de confiança é aproximadamente $(246.08; 253.92)$.

(A) Correta: O intervalo $(246; 254)$ é a melhor aproximação do intervalo calculado $(246.08; 253.92)$, arredondando os limites para os números inteiros mais próximos.
(B) Incorreta: Este intervalo $(242; 258)$ tem uma margem de erro de 8, o que implicaria um Z-valor de 4 (pois $4 \times 2 = 8$), muito maior que o 1,96 correto. A armadilha é que uma margem de erro maior pode parecer mais "segura" para o aluno, mas indica um erro de cálculo significativo ou um nível de confiança irrealisticamente alto.
(C) Incorreta: Este intervalo $(237; 263)$ tem uma margem de erro de 13, que é consideravelmente maior do que o valor correto de 3,92.
(D) Incorreta: Este intervalo $(230; 270)$ tem uma margem de erro de 20, o que está muito distante do cálculo correto.
(E) Incorreta: Este intervalo $(224; 276)$ tem uma margem de erro de 26, indicando um erro de cálculo ainda maior.