Questão nº 80

Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 80)

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Suponha que, para se fazer inferências acerca de uma proporção populacional $\theta$ , $0 < \theta < 1$ , uma amostra aleatória simples x₁, x₂, ..., xn, de tamanho n de uma distribuição Bernoulli $(\theta)$ deva ser observada; suponha, ainda, que se pretenda usar uma densidade Uniforme no intervalo (0, 1) a priori para $\theta$ .

Assim, se $y = \sum_{i=1}^{n} x_i$ , então a função de densidade a posteriori para $\theta$ terá distribuição Beta com parâmetros

A(y + 1) e (n – y + 1). (alternativa correta)
By e (n – y).
C(n – 1) e (n – y).
D(n + y – 1) e y.
Ey/n e (n – y).

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

O conceito-chave é que a distribuição a priori Uniforme(0,1) é o mesmo que uma Beta(1,1). Como a verossimilhança Bernoulli tem forma $p^y(1-p)^{n-y}$ , ao multiplicar pela priori, os expoentes somam: o parâmetro $a$ vira $y+1$ e o $b$ vira $n-y+1$ . A posteriori é sempre uma Beta com esses parâmetros atualizados.

(A) Correta: É exatamente o resultado da conjugação Beta-Bernoulli: priori Beta(1,1) + verossimilhança com $y$ sucessos e $n-y$ fracassos resulta em Beta(y+1, n-y+1).
(B) Incorreta: Esquece que a priori Uniforme contribui com +1 em cada parâmetro; sem isso, seria como se a priori fosse imprópria (Jeffreys), não a Uniforme dada.
(C) Incorreta: Inverte e mistura os termos; não corresponde a nenhuma operação de soma de expoentes da verossimilhança com a priori.
(D) Incorreta: Coloca $y$ no segundo parâmetro e $n+y-1$ no primeiro, o que não tem fundamento na conjugação; confunde a ordem dos parâmetros da Beta.
(E) Incorreta: Usa a média amostral $y/n$ como parâmetro, o que é um erro conceitual: parâmetros da Beta são contagens (pseudo-contagens), não proporções.

Armadilha do distrator mais tentador (B): A banca quer que você esqueça que a Uniforme(0,1) é uma Beta(1,1). Quem decora a fórmula "Beta(y, n-y)" cai na letra B, mas isso só valeria se a priori fosse a não informativa de Jeffreys (Beta(0.5,0.5)) ou se não houvesse priori. Com a Uniforme, os "+1" são obrigatórios.

Fonte: FGV ALE-RO 2018 Estatística (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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