Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 74)

O conceito-chave é o erro padrão da média ($\sigma/\sqrt{n}$) e o nível de confiança: para garantir que a média amostral não se afaste da populacional por mais de $E = 0{,}2$, usamos $E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Com 95% de confiança, $z = 1{,}96$ (ou, arredondado para cima, $z = 2$), e a variância populacional é $\sigma^2 = 25$, logo $\sigma = 5$. Isolando $n$: $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$.

• (A) Incorreta: $1296$resulta de usar$z = 1{,}96$e$\sigma = 5$com$E = 0{,}2$? Na verdade,$n = (1{,}96 \cdot 5 / 0{,}2)^2 = 2401$, não 1296; 1296 seria se$\sigma = 3{,}6$ou$E = 0{,}27$, valores não dados — é um distrator sem base.
• (B) Incorreta: $2304 é o quadrado de \48$; viria de usar$z = 1{,}92$(menor que o correto) ou$\sigma = 4{,}8$, o que subestima o tamanho necessário, violando a garantia de 95%.
• (C) Correta: O cálculo exato é $n = \left(\frac{1{,}96 \cdot 5}{0{,}2}\right)^2 = \left(\frac{9{,}8}{0{,}2}\right)^2 = 49^2 = 2401$. Como $n$ deve ser inteiro e maior ou igual, o valor mínimo é 2401.
• (D) Incorreta: $2500 = 50^2$; viria de usar $z = 2{,}0$ (arredondamento grosseiro) e $\sigma = 5$, mas isso superestima o tamanho — não é o mínimo garantido, apenas um valor maior que o necessário.
• (E) Incorreta: $2916 = 54^2$; resultaria de usar $z = 2{,}16$ ou $\sigma = 5{,}4$, sem justificativa estatística — é um distrator que confunde quem arredonda $z$ para cima demais.

Armadilha do distrator mais tentador (B): Muitos alunos usam $z = 1{,}96$ mas erram ao calcular $1{,}96 \times 5 = 9{,}8$ e depois dividem por $0{,}2$ obtendo $49$, mas ao elevar ao quadrado fazem$49 \times 49 = 2401; quem chega a \2304$provavelmente usou$z = 1{,}92$(confundindo com o$t$de Student para graus de liberdade altos) ou truncou$1{,}96$para$1{,}9$, o que reduz o tamanho e quebra a garantia de confiança — a banca testa se você usa o valor exato de$z$.