Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 59)

O Índice de Gini é uma medida estatística que avalia o grau de desigualdade na distribuição de uma variável (como renda ou riqueza) em uma população, variando de 0 (igualdade perfeita) a 1 (desigualdade máxima).

Para calcular o Índice de Gini para uma distribuição discreta $X = [x_1, x_2, \dots, x_n]$, uma das fórmulas utilizadas é:
$G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |x_i - x_j|}{2 n^2 \bar{x}}$
Onde:

• $x_i$ são os valores da distribuição (rendas).
• $n$ é o número de elementos na distribuição.
• $\bar{x}$ é a média dos valores.

Vamos aplicar para a distribuição $X = [1,2,7,10]$:

1. Calcular a média ($\bar{x}$):
   \bar{x} = \frac{1+2+7+10}{4} = \frac{20}{4} = 5\
2. Calcular a soma das diferenças absolutas ($\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |x_i - x_j|$):
   $|1-1|=0, |1-2|=1, |1-7|=6, |1-10|=9$
   $|2-1|=1, |2-2|=0, |2-7|=5, |2-10|=8$
   $|7-1|=6, |7-2|=5, |7-7|=0, |7-10|=3$
   $|10-1|=9, |10-2|=8, |10-7|=3, |10-10|=0$
   Somando todas as diferenças: $0+1+6+9+1+0+5+8+6+5+0+3+9+8+3+0 = 64$
3. Aplicar a fórmula do Gini:
   $G = \frac{64}{2 \times 4^2 \times 5}$
   $G = \frac{64}{2 \times 16 \times 5}$
   $G = \frac{64}{32 \times 5}$
   $G = \frac{64}{160}$
   $G = 0.4$

(A) Incorreta: O valor 0,825 não corresponde ao cálculo correto do Índice de Gini.
(B) Incorreta: O valor 0,775 não corresponde ao cálculo correto do Índice de Gini.
(C) Incorreta: O valor 0,425 não corresponde ao cálculo correto do Índice de Gini.
(D) Correta: O valor 0,400 é o resultado exato do cálculo do Índice de Gini para a distribuição dada, conforme demonstrado passo a passo. A principal armadilha para os alunos costuma ser erros aritméticos na soma das diferenças ou na aplicação do denominador da fórmula ($2n^2\bar{x}$). Por exemplo, esquecer o fator '2' no denominador levaria a um resultado de $0,8$, que poderia induzir a escolher alternativas próximas como (A) ou (B) se houvesse um pequeno erro adicional no somatório.
(E) Incorreta: O valor 0,575 não corresponde ao cálculo correto do Índice de Gini.