Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 28)

Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo. Sua probabilidade é descrita por uma Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.), que indica a probabilidade relativa de a variável assumir um valor específico. A moda é o valor onde a f.d.p. atinge seu máximo, e a média (ou valor esperado) é o valor médio ponderado de todos os resultados possíveis, calculado pela integral de $x$ vezes a f.d.p.

Para resolver a questão, precisamos calcular a moda e a média da variável aleatória X.

1. Cálculo da Moda:
   A moda é o valor de $x$ que maximiza $f(x)$ no intervalo $(0, 2)$.
   $f(x) = \dfrac{-3x^2+8x}{8}$
   Para encontrar o máximo, derivamos $f(x)$ e igualamos a zero:
   $f'(x) = \dfrac{1}{8}(-6x+8)$
   $f'(x) = 0 \implies -6x+8 = 0 \implies 6x = 8 \implies x = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$.
   Como $f''(x) = -\dfrac{6}{8} < 0$, este é um ponto de máximo. O valor $x = \dfrac{4}{3}$ está dentro do intervalo $(0, 2)$.
   Portanto, a Moda é $x_{mode} = \dfrac{4}{3}$.

2. Cálculo da Média (Valor Esperado):
   A média $E[X]$ é dada por $E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot f(x) dx$.
   $E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot \dfrac{-3x^2+8x}{8} dx = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} (-3x^3+8x^2) dx$
   $E[X] = \dfrac{1}{8} \left[ -\dfrac{3x^4}{4} + \dfrac{8x^3}{3} \right]_{0}^{2}$
   $E[X] = \dfrac{1}{8} \left[ \left( -\dfrac{3(2)^4}{4} + \dfrac{8(2)^3}{3} \right) - \left( -\dfrac{3(0)^4}{4} + \dfrac{8(0)^3}{3} \right) \right]$
   $E[X] = \dfrac{1}{8} \left[ \left( -\dfrac{3 \cdot 16}{4} + \dfrac{8 \cdot 8}{3} \right) - 0 \right]$
   $E[X] = \dfrac{1}{8} \left[ (-12 + \dfrac{64}{3}) \right]$
   $E[X] = \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{-36+64}{3} \right] = \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{28}{3} \right] = \dfrac{28}{24} = \dfrac{7}{6}$.
   Portanto, a Média é $E[X] = \dfrac{7}{6}$.

3. Cálculo da Razão Moda / Média:
   Razão = $\dfrac{\text{Moda}}{\text{Média}} = \dfrac{4/3}{7/6} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{6}{7} = \dfrac{4 \cdot 2}{7} = \dfrac{8}{7}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o aluno, ao calcular a moda, considerasse erroneamente que o máximo da função no intervalo $(0,2)$ ocorre em $x=2$ (um dos limites do intervalo), em vez de usar a derivada para encontrar o ponto crítico. Se a moda fosse $2, a razão seria \2 / (7/6) = 12/7$. **(B) Incorreta:** Esta alternativa (que simplifica para 3) não corresponde a nenhum erro comum de cálculo para este problema. **(C) Correta:** O valor da moda é$\frac{4}{3}$e o valor da média é$\frac{7}{6}$. A razão entre eles é$\frac{4/3}{7/6} = \frac{4}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{24}{21} = \frac{8}{7}$.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum erro comum de cálculo para este problema.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum erro comum de cálculo para este problema.