Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 27)

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) descreve como a probabilidade se distribui para uma variável aleatória contínua, e sua integral sobre todo o domínio deve ser igual a 1. A variância relativa mede a dispersão dos dados em relação à média, sendo calculada como a variância dividida pelo quadrado da média.

Primeiro, encontramos o valor de $k$ usando a propriedade de que a integral da f.d.p. sobre todo o domínio é 1:
$\int_0^4 kx \, dx = 1 \Rightarrow k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 1 \Rightarrow k \left( \frac{4^2}{2} - 0 \right) = 1 \Rightarrow k \left( \frac{16}{2} \right) = 1 \Rightarrow 8k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{8}$.
Então, $f(x) = \frac{1}{8}x$ para $0 < x \le 4$.

Agora, calculamos a média $E[X]$:
$E[X] = \int_0^4 x \cdot f(x) \, dx = \int_0^4 x \left( \frac{1}{8}x \right) \, dx = \int_0^4 \frac{1}{8}x^2 \, dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{3} = \frac{8}{3}$.

Em seguida, calculamos $E[X^2]$:
$E[X^2] = \int_0^4 x^2 \cdot f(x) \, dx = \int_0^4 x^2 \left( \frac{1}{8}x \right) \, dx = \int_0^4 \frac{1}{8}x^3 \, dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^4 = \frac{1}{8} \left( \frac{4^4}{4} - 0 \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{256}{4} = \frac{1}{8} \cdot 64 = 8$.

Agora, calculamos a variância $Var(X)$:
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 8 - \left( \frac{8}{3} \right)^2 = 8 - \frac{64}{9} = \frac{72}{9} - \frac{64}{9} = \frac{8}{9}$.

Finalmente, calculamos a variância relativa:
Variância Relativa = $\frac{Var(X)}{(E[X])^2} = \frac{\frac{8}{9}}{\left( \frac{8}{3} \right)^2} = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{64}{9}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{64} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$.

• (A) Incorreta: Este valor corresponde apenas à variância de X ($Var(X)$), não à variância relativa. A pegadinha aqui é parar a conta antes do final.
• (B) Incorreta: Este valor não é obtido por nenhum cálculo correto no problema.
• (C) Incorreta: Este valor seria obtido se a variância relativa fosse definida como $Var(X)/E[X]$ em vez de $Var(X)/(E[X])^2$.
• (D) Incorreta: Este valor corresponde à média de X ($E[X]$), não à variância relativa. A pegadinha aqui é parar a conta muito antes do final.
• (E) Correta: O cálculo completo da variância relativa, conforme a definição dada, resulta em $\frac{1}{8}$.