Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 56)

A função densidade espectral (FDE) mostra como a variância de uma série temporal estacionária é distribuída pelas diferentes frequências. Para um modelo de médias móveis MA(q), a FDE é obtida a partir dos coeficientes do modelo e da variância do ruído branco.

• (A) Correta: A função densidade espectral $f(\omega)$ para um processo MA(q) da forma $Z_t = \sum_{j=0}^{q} \psi_j a_{t-j}$ é dada por $f(\omega) = \frac{\sigma_a^2}{2\pi} \left| \sum_{j=0}^{q} \psi_j e^{-ij\omega} \right|^2$. No modelo $Z_t = a_t - 0,5a_{t-1}$, temos $\psi_0 = 1$, $\psi_1 = -0,5$ e $\sigma_a^2 = Var(a_t) = 1$. Substituindo na fórmula, $f(\omega) = \frac{1}{2\pi} \left| 1 \cdot e^{-i0\omega} + (-0,5) e^{-i1\omega} \right|^2 = \frac{1}{2\pi} \left| 1 - 0,5 e^{-i\omega} \right|^2$. Para $\omega = 0$, $f(0) = \frac{1}{2\pi} \left| 1 - 0,5 e^{-i \cdot 0} \right|^2 = \frac{1}{2\pi} \left| 1 - 0,5 \cdot 1 \right|^2 = \frac{1}{2\pi} \left| 0,5 \right|^2 = \frac{1}{2\pi} (0,25) = \frac{0,25}{2\pi} = \frac{1/4}{2\pi} = \frac{1}{8\pi}$.
• (B) Incorreta: Este valor seria obtido se o termo dentro do módulo fosse $1 e não \0,5$, ou se houvesse um erro no cálculo da constante.
• (C) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Ela seria o resultado se o termo $(0,5)$ dentro do módulo não fosse elevado ao quadrado, ou seja, se o cálculo fosse $\frac{0,5}{2\pi}$ em vez de $\frac{(0,5)^2}{2\pi}$. A armadilha da banca é testar a atenção ao quadrado na fórmula da FDE.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro de cálculo comum na aplicação da fórmula da FDE para este modelo.
• (E) Incorreta: Este valor seria obtido se o termo dentro do módulo fosse $\sqrt{2}$ e a constante $1/(2\pi)$ fosse ignorada, ou outros erros significativos.