Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 52)

O conceito-chave aqui é o Movimento Browniano com drift zero. Isso significa que a posição futura de Pedro em relação a João ($X_t$) é um processo aleatório sem uma tendência média (o drift $\mu=0$), e sua variação ao longo do tempo é dada por $\sigma B_t$, onde $B_t$ é um Movimento Browniano padrão. Uma característica fundamental do Movimento Browniano é que seus incrementos são independentes e seguem uma distribuição normal. Ou seja, a mudança na liderança entre dois pontos no tempo, $X_t - X_s$, é independente da liderança em $X_s$, e $X_t - X_s \sim N(0, \sigma^2(t-s))$. Para Pedro vencer, ele precisa estar à frente no final da corrida, ou seja, $X_1 > 0$.

Para resolver o problema, precisamos calcular a probabilidade de Pedro vencer ($X_1 > 0$) dado que ele está liderando por $\frac{\sigma}{2}$ em $\frac{3}{4}$ da corrida ($X_{3/4} = \frac{\sigma}{2}$).

1. A probabilidade condicional é $P(X_1 > 0 \mid X_{3/4} = \frac{\sigma}{2})$.
2. Podemos reescrever $X_1$ como $X_1 = X_{3/4} + (X_1 - X_{3/4})$.
3. Devido à propriedade de incrementos independentes do Movimento Browniano, $(X_1 - X_{3/4})$ é independente de $X_{3/4}$.
4. A distribuição do incremento é $X_1 - X_{3/4} \sim N(0, \sigma^2(1 - \frac{3}{4})) = N(0, \sigma^2 \frac{1}{4})$.
5. Seja $Y = X_1 - X_{3/4}$. Então $Y \sim N(0, \frac{\sigma^2}{4})$. A raiz quadrada da variância (desvio padrão) é $\sqrt{\frac{\sigma^2}{4}} = \frac{\sigma}{2}$.
6. Substituindo na probabilidade condicional: $P(\frac{\sigma}{2} + Y > 0)$.
7. Isso é equivalente a $P(Y > -\frac{\sigma}{2})$.
8. Para usar a tabela normal padrão, precisamos padronizar $Y$: $Z = \frac{Y - E[Y]}{\sqrt{Var(Y)}} = \frac{Y - 0}{\sigma/2}$.
9. Então, a desigualdade se torna $P(Z \cdot \frac{\sigma}{2} > -\frac{\sigma}{2})$.
10. Dividindo ambos os lados por $\frac{\sigma}{2}$ (que é positivo), obtemos $P(Z > -1)$.
11. Pela simetria da distribuição normal padrão, $P(Z > -1) = 1 - P(Z \le -1) = P(Z \le 1)$.
12. Consultando a tabela para $z=1.0$, encontramos $P(Z \le 1.0) = 0.8413$. Arredondando para três casas decimais, temos $0.841$.

Alternativas:

• (A) Incorreta: Este valor (0,691) corresponde a $P(Z \le 0.5)$. Um erro comum seria calcular o desvio padrão do incremento como $\sigma$ em vez de $\sigma/2$, levando a $P(Z > -1/2) = P(Z \le 0.5)$.
• (B) Incorreta: Este valor (0,309) corresponde a $P(Z \le -0.5)$ ou $1 - P(Z \le 0.5)$, indicando múltiplos erros na padronização ou na interpretação da desigualdade.
• (C) Incorreta: Este valor (0,933) corresponde a $P(Z \le 1.5)$, o que implicaria um erro no cálculo do desvio padrão ou no valor do limite para $Z$.
• (D) Correta: A probabilidade de Pedro vencer é $P(Z \le 1)$, que é 0,841, conforme calculado usando as propriedades do Movimento Browniano e a tabela da distribuição normal padrão.
• (E) Incorreta: Este valor (0,067) corresponde a $P(Z \le -1.5)$ ou $1 - P(Z \le 1.5)$, indicando erros significativos no cálculo.