Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 53)

Um modelo de fila M/M/c/K descreve um sistema onde clientes chegam aleatoriamente (processo de Poisson), o tempo de serviço é aleatório (distribuição exponencial), há 'c' atendentes e a capacidade máxima do sistema é 'K' (incluindo atendentes e fila). A proporção de clientes que não serão atendidos é a probabilidade de o sistema estar cheio, ou seja, no seu estado de capacidade máxima.

• Dados do problema:

  • Número de atendentes ($c$) = 2
  • Posição de espera = 1
  • Capacidade máxima do sistema ($K$) = $c$ + posição de espera = 2 + 1 = 3
  • Taxa de chegada ($\lambda$) = 2 clientes por hora
  • Taxa de serviço por atendente ($\mu$) = 1 cliente por hora (já que o tempo médio de atendimento é 1 hora)

• Estados do sistema: O número de clientes no sistema pode ser 0, 1, 2 ou 3.

  • Estado 0: 0 clientes no sistema
  • Estado 1: 1 cliente no sistema
  • Estado 2: 2 clientes no sistema (ambos atendentes ocupados, fila livre)
  • Estado 3: 3 clientes no sistema (ambos atendentes ocupados, fila ocupada)

• Taxas de chegada efetivas ($\lambda_n$):

  • $\lambda_0 = \lambda_1 = \lambda_2 = 2$ (a taxa de chegada é $\lambda$ enquanto o sistema não está cheio)
  • $\lambda_3 = 0$ (clientes são rejeitados se o sistema está no estado 3)

• Taxas de serviço efetivas ($\mu_n$):

  • $\mu_1 = 1 \times \mu = 1$ (1 atendente ocupado)
  • $\mu_2 = 2 \times \mu = 2$ (2 atendentes ocupados)
  • $\mu_3 = 2 \times \mu = 2$ (2 atendentes ocupados)

• Cálculo das probabilidades de estado ($P_n$):
  Usamos as equações de balanço de estado para encontrar $P_n$ em termos de $P_0$:

  • $P_1 = P_0 \frac{\lambda_0}{\mu_1} = P_0 \frac{2}{1} = 2 P_0$
  • $P_2 = P_1 \frac{\lambda_1}{\mu_2} = (2 P_0) \frac{2}{2} = 2 P_0$
  • $P_3 = P_2 \frac{\lambda_2}{\mu_3} = (2 P_0) \frac{2}{2} = 2 P_0$

• Normalização: A soma de todas as probabilidades de estado deve ser 1:
  $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1$
  $P_0 + 2 P_0 + 2 P_0 + 2 P_0 = 1$
  $7 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{7}$

• Probabilidade de rejeição: Um cliente é rejeitado se chega e encontra o sistema no estado 3 (ambos atendentes ocupados e a posição de espera ocupada). Portanto, a proporção de clientes não atendidos é $P_3$.
  $P_3 = 2 P_0 = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$

Alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um cálculo incorreto das probabilidades de estado ou da probabilidade $P_0$.
• (B) Correta: A proporção de clientes que chegam e não são atendidos é a probabilidade de o sistema estar cheio, ou seja, no estado 3 ($P_3$), que é $\frac{2}{7}$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa pode surgir de um erro na soma das probabilidades ou na identificação do estado de rejeição.
• (D) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro na determinação de $P_0$ ou na relação entre $P_3$ e $P_0$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado obtido pelos cálculos corretos do modelo de fila M/M/c/K.