Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 51)

A distribuição estacionária de uma cadeia de Markov é um vetor de probabilidades $\pi = (\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4)$ que representa a probabilidade de a cadeia estar em cada estado no longo prazo. Uma vez que a cadeia atinge essa distribuição, ela permanece a mesma em todos os passos futuros. Para que um vetor $\pi$ seja uma distribuição estacionária, ele deve satisfazer duas condições: 1) $\pi P = \pi$ (onde $P$ é a matriz de transição), e 2) a soma de todas as probabilidades deve ser 1 ($\sum_{i=1}^4 \pi_i = 1$).

Para encontrar a distribuição estacionária, montamos o sistema de equações $\pi P = \pi$:
$(\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4) \begin{bmatrix} p & 1-p & 0 & 0 \ \frac{1-p}{2} & p & \frac{1-p}{2} & 0 \ 0 & \frac{1-p}{2} & p & \frac{1-p}{2} \ 0 & 0 & 1-p & p \end{bmatrix} = (\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4)$

Isso nos dá o seguinte sistema de equações lineares:

1. \pi_1 p + \pi_2 \frac{1-p}{2} = \pi_1\
2. \pi_1 (1-p) + \pi_2 p + \pi_3 \frac{1-p}{2} = \pi_2\
3. \pi_2 \frac{1-p}{2} + \pi_3 p + \pi_4 (1-p) = \pi_3\
4. $\pi_3 \frac{1-p}{2} + \pi_4 p = \pi_4$

E a condição de normalização:
5. $\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 + \pi_4 = 1$

Vamos simplificar as equações:
Da equação (1): $\pi_2 \frac{1-p}{2} = \pi_1 (1-p)$. Como $0 < p < 1$,$1-p \neq 0$, então podemos dividir por$(1-p)$:$\pi_2 \frac{1}{2} = \pi_1 \implies \pi_2 = 2\pi_1$. Da equação (4):$\pi_3 \frac{1-p}{2} = \pi_4 (1-p)$. Dividindo por$(1-p)$:$\pi_3 \frac{1}{2} = \pi_4 \implies \pi_3 = 2\pi_4$.

Agora, substituímos $\pi_2 = 2\pi_1$ e $\pi_4 = \pi_3/2$ na equação (3):
$(2\pi_1) \frac{1-p}{2} + \pi_3 p + (\pi_3/2) (1-p) = \pi_3$
$\pi_1 (1-p) + \pi_3 p + \pi_3 \frac{1-p}{2} = \pi_3$
$\pi_1 (1-p) = \pi_3 - \pi_3 p - \pi_3 \frac{1-p}{2}$
$\pi_1 (1-p) = \pi_3 \left(1 - p - \frac{1-p}{2}\right)$
$\pi_1 (1-p) = \pi_3 \left(\frac{2 - 2p - (1-p)}{2}\right)$
$\pi_1 (1-p) = \pi_3 \left(\frac{1 - p}{2}\right)$
Dividindo por $(1-p)$: $\pi_1 = \frac{\pi_3}{2} \implies \pi_3 = 2\pi_1$.

Com essas relações, temos:
$\pi_1$
$\pi_2 = 2\pi_1$
$\pi_3 = 2\pi_1$
$\pi_4 = \pi_3/2 = (2\pi_1)/2 = \pi_1$

Agora, usamos a condição de normalização (equação 5):
$\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 + \pi_4 = 1$
$\pi_1 + 2\pi_1 + 2\pi_1 + \pi_1 = 1$
$6\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{1}{6}$

Portanto, a distribuição estacionária é:
$\pi_1 = \frac{1}{6}$
$\pi_2 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\pi_3 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\pi_4 = \frac{1}{6}$
A distribuição estacionária é $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$.

• (A) Correta: Esta alternativa $\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{6}\right)$ é a distribuição estacionária encontrada, pois satisfaz as equações $\pi P = \pi$ e a condição de que a soma de suas componentes é 1.
• (B) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz a condição $\pi P = \pi$. Por exemplo, a relação $\pi_2 = 2\pi_1$ não é cumprida, pois $\frac{1}{4} \neq 2 \times \frac{1}{4}$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz a condição $\pi P = \pi$. Por exemplo, a relação $\pi_2 = 2\pi_1$ não é cumprida, pois $\frac{1}{3} \neq 2 \times \frac{1}{9}$.
• (D) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz a condição $\pi P = \pi$. Por exemplo, a relação $\pi_2 = 2\pi_1$ não é cumprida, pois $\frac{2}{5} \neq 2 \times \frac{1}{5}$ (na verdade, esta relação é cumprida, mas outras não serão, como $\pi_3 = 2\pi_1$, pois $\frac{1}{5} \neq 2 \times \frac{1}{5}$).
• (E) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum porque apresenta uma simetria parcial ($\pi_1 = \pi_4 = \frac{1}{4}$), que é uma característica da distribuição correta. No entanto, ela não satisfaz as outras relações necessárias, como $\pi_2 = 2\pi_1$, pois $\frac{1}{8} \neq 2 \times \frac{1}{4}$. A armadilha é se basear apenas em uma observação de simetria sem verificar todas as condições de $\pi P = \pi$.