Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 50)

O Método da Transformação Inversa é uma técnica para gerar números aleatórios de uma distribuição específica. Ele funciona igualando a Função de Densidade Acumulada (FDA) da distribuição desejada a um número aleatório $U$ (uniformemente distribuído entre 0 e 1) e, em seguida, resolvendo para a variável aleatória $X$.

• (A) Incorreta: Esta forma é típica para a simulação de uma distribuição exponencial, não da distribuição valor extremo, que possui uma estrutura mais complexa de exponenciais e logaritmos.
• (B) Incorreta: Apresenta uma manipulação algébrica incorreta, não resultante da aplicação correta do método da transformação inversa à FDA fornecida.
• (C) Incorreta: Similar à alternativa A, esta forma não corresponde à complexidade da FDA da distribuição valor extremo e indica erros na aplicação dos logaritmos e na isolação de X.
• (D) Incorreta: Apresenta uma manipulação algébrica incorreta, com erros na aplicação de logaritmos e na estrutura final da equação.
• (E) Correta: Para obter a expressão, igualamos a FDA a $U$:
  1. U = 1 - e^{-\exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}\
  2. Isolamos o termo exponencial: e^{-\exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)} = 1 - U\
  3. Aplicamos o logaritmo natural ($\ln$) em ambos os lados: -\exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \ln(1 - U)\
  4. Multiplicamos por -1: \exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = -\ln(1 - U)\
  5. Aplicamos o logaritmo natural ($\ln$) novamente: \frac{x-\mu}{\sigma} = \ln(-\ln(1 - U))\
  6. Isolamos $X$: $X = \mu + \sigma \ln(-\ln(1 - U))$.
     Como $U$ é uma variável aleatória uniforme em (0,1), $1-U também é uniforme em (0,1). Assim, podemos substituir \1-U$ por $U$ na expressão final, resultando em $X = \mu + \sigma \ln(-\ln U)$. A armadilha mais comum é errar a ordem ou o sinal das operações de logaritmo e exponencial, ou esquecer de aplicar o logaritmo duas vezes.