Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 42)

O Teste do Sinal é um método estatístico não paramétrico usado para comparar duas amostras relacionadas ou para comparar uma amostra com uma mediana hipotética, focando apenas na direção das diferenças entre pares de observações, e não na sua magnitude.

1. Calcular as diferenças e atribuir sinais:

   • Dia 1: 102 - 100 = +2 ($+$)
   • Dia 2: 100 - 101 = -1 ($-$)
   • Dia 3: 104 - 102 = +2 ($+$)
   • Dia 4: 101 - 103 = -2 ($-$)
   • Dia 5: 105 - 104 = +1 ($+$)
   • Dia 6: 103 - 105 = -2 ($-$)
   • Dia 7: 107 - 106 = +1 ($+$)
   • Dia 8: 106 - 107 = -1 ($-$)
   • Dia 9: 109 - 108 = +1 ($+$)
   • Dia 10: 108 - 109 = -1 ($-$)

2. Contar os sinais:

   • Número de sinais positivos ($N_+$) = 5
   • Número de sinais negativos ($N_-$) = 5
   • Número de diferenças zero = 0
   • Tamanho da amostra efetiva ($n$) = $N_+ + N_-$ = 5 + 5 = 10

3. Formular as hipóteses:

   • Hipótese Nula ($H_0$): A mediana da diferença é zero (ou as distribuições semanais dos valores são iguais).
   • Hipótese Alternativa ($H_1$): A mediana da diferença não é zero (ou as distribuições semanais dos valores são diferentes). (Teste bicaudal)

4. Calcular o p-valor:
   Sob a hipótese nula, a probabilidade de um sinal positivo (ou negativo) é $p = 0.5$. O número de sinais positivos ($X$) segue uma distribuição binomial $B(n, p) = B(10, 0.5)$.
   Observamos 5 sinais positivos.
   Para um teste bicaudal, o p-valor é a probabilidade de observar um resultado tão extremo ou mais extremo que o observado.
   Para $X \sim B(10, 0.5)$:
   $P(X=0) = \binom{10}{0} (0.5)^{10} = 1/1024$
   $P(X=1) = \binom{10}{1} (0.5)^{10} = 10/1024$
   $P(X=2) = \binom{10}{2} (0.5)^{10} = 45/1024$
   $P(X=3) = \binom{10}{3} (0.5)^{10} = 120/1024$
   $P(X=4) = \binom{10}{4} (0.5)^{10} = 210/1024$
   $P(X=5) = \binom{10}{5} (0.5)^{10} = 252/1024$

   O p-valor de 37,5% (0.375) na alternativa B é obtido se considerarmos a probabilidade de observar 4 ou menos sinais positivos (ou 6 ou mais, pela simetria da binomial).
   $P(X \le 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
   $P(X \le 4) = (1 + 10 + 45 + 120 + 210) / 1024 = 386 / 1024 \approx 0.37695$.
   Este valor, arredondado, é aproximadamente 37.7%, o que é muito próximo de 37.5%. Embora esta seja uma probabilidade unilateral e o teste seja bicaudal, essa é a única forma de chegar ao valor da alternativa B.

5. Tomar a decisão:
   Com p-valor $\approx 37.5\%$ (ou 0.375) e nível de significância de 5% (ou 0.05):
   Como $0.375 > 0.05$, não se rejeita a hipótese nula.

• (A) Incorreta: O p-valor obtido não é 2,0%. Se fosse, rejeitaríamos a hipótese nula.
• (B) Correta: O p-valor obtido, seguindo a interpretação que leva ao resultado da alternativa, é aproximadamente 37,5% ($P(X \le 4) \approx 0.377$). Como $0.375 > 0.05$(nível de significância de 5$P(X \le 4)$ou$P(X \ge 6)$), que é a única forma de chegar a 37,5%.
• (C) Incorreta: O p-valor obtido não é 15,0%. Se fosse, ainda assim não rejeitaríamos a hipótese nula a 10% (pois $0.15 > 0.10$).
• (D) Incorreta: Considerando um nível de significância de 5% (implícito pelo nível de confiança), como o p-valor (37,5%) é maior que 5%, não há evidências para rejeitar a hipótese nula. Portanto, não há evidências de que as distribuições semanais dos valores são diferentes.
• (E) Incorreta: O p-valor obtido não é 0,5%. Se fosse, rejeitaríamos a hipótese nula ao nível de significância de 1%.