Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 41)

O teste qui-quadrado de Pearson é usado para verificar se existe uma associação (dependência) entre duas variáveis categóricas. A hipótese nula ($H_0$) afirma que não há associação (as variáveis são independentes), enquanto a hipótese alternativa ($H_1$) afirma que há associação. Para decidir, calculamos uma estatística de teste e a comparamos com um valor crítico da distribuição qui-quadrado, determinado pelos graus de liberdade e pelo nível de significância.

Vamos calcular a estatística do teste:

1. Definir as hipóteses:

   • $H_0$: Não há associação entre o uso do medicamento e a redução da hipertensão (são independentes).
   • $H_1$: Há associação entre o uso do medicamento e a redução da hipertensão (não são independentes).

2. Calcular as frequências esperadas ($E$) sob a hipótese nula de independência. A fórmula para cada célula é $(Total \ da \ Linha \times Total \ da \ Coluna) / Total \ Geral$.

   • Tabela de Frequências Observadas (O):

     	Hipertensão Reduzida	Hipertensão Não Reduzida	Total da Linha
     Medicamento	120	80	200
     Placebo	60	130	190
     Total da Coluna	180	210	390 (Total Geral)

   • Cálculo das Frequências Esperadas (E):

     • $E_{Medicamento, Reduzida} = (200 \times 180) / 390 = 36000 / 390 \approx 92,31$
     • $E_{Medicamento, Não Reduzida} = (200 \times 210) / 390 = 42000 / 390 \approx 107,69$
     • $E_{Placebo, Reduzida} = (190 \times 180) / 390 = 34200 / 390 \approx 87,69$
     • E_{Placebo, Não Reduzida} = (190 \times 210) / 390 = 39900 / 390 \approx 102,31\

3. Calcular a estatística qui-quadrado ($\chi^2$):
   A fórmula é $\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$ para todas as células.

   • $\chi^2 = \frac{(120 - 92,31)^2}{92,31} + \frac{(80 - 107,69)^2}{107,69} + \frac{(60 - 87,69)^2}{87,69} + \frac{(130 - 102,31)^2}{102,31}$
   • $\chi^2 = \frac{(27,69)^2}{92,31} + \frac{(-27,69)^2}{107,69} + \frac{(-27,69)^2}{87,69} + \frac{(27,69)^2}{102,31}$
   • $\chi^2 = \frac{766,74}{92,31} + \frac{766,74}{107,69} + \frac{766,74}{87,69} + \frac{766,74}{102,31}$
   • $\chi^2 \approx 8,306 + 7,119 + 8,743 + 7,494 \approx 31,662$
   • Usando a fórmula simplificada para tabelas 2x2: $\chi^2 = \frac{N(AD-BC)^2}{(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)}$
     • $A=120, B=80, C=60, D=130, N=390$
     • $AD-BC = (120 \times 130) - (80 \times 60) = 15600 - 4800 = 10800$
     • \chi^2 = \frac{390 \times (10800)^2}{(200)(190)(180)(210)} = \frac{390 \times 116640000}{1436400000} = \frac{45489600000}{1436400000} \approx 31,67\

4. Calcular os graus de liberdade (df):
   Para uma tabela de contingência, $df = (número \ de \ linhas - 1) \times (número \ de \ colunas - 1)$.

   • $df = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1 \times 1 = 1$.

5. Comparar com os valores críticos e tomar uma decisão:
   Nosso $\chi^2_{calculado} \approx 31,67$.
   Valores críticos fornecidos para $df=1$: $X^2_{1;5\%} = 3,84$ e $X^2_{1;1\%} = 6,64$.

   • Como $31,67 > 3,84$, rejeitamos$H_0$ ao nível de significância de 5%.
   • Como $31,67 > 6,64$, rejeitamos$H_0$ ao nível de significância de 1%.

Análise das Alternativas:

• (A) Incorreta: A distribuição do teste possui 1 grau de liberdade, não 2. Calculamos $df = (2-1) \times (2-1) = 1$.
• (B) Correta: O valor calculado da estatística do teste ($\chi^2 \approx 31,67$) é maior que o valor crítico para 1 grau de liberdade ao nível de significância de 5% ($X^2_{1;5\%} = 3,84$). Portanto, rejeita-se a hipótese nula ($H_0$) de que o medicamento não está associado à redução da hipertensão. Isso significa que há evidências de associação.
• (C) Incorreta: O valor calculado da estatística do teste é aproximadamente 31,67, não 3,82. Armadilha da banca: O valor 3,82 é muito próximo do valor crítico de 3,84 para 5%, o que poderia confundir o aluno que errasse o cálculo ou interpretasse mal o resultado.
• (D) Incorreta: Baseado no cálculo, o valor da estatística do teste ($\chi^2 \approx 31,67$) é maior que o valor crítico para 1 grau de liberdade ao nível de significância de 1% ($X^2_{1;1\%} = 6,64$). Isso significa que, matematicamente, a hipótese nula também seria rejeitada a 1%. No entanto, como o gabarito oficial indica que apenas a alternativa B está correta e "todas as outras alternativas são incorretas", esta alternativa deve ser considerada incorreta no contexto da questão, possivelmente por uma inconsistência na elaboração da questão ou por se esperar a conclusão no nível de significância mais comum (5%) quando há múltiplas opções de rejeição. Para que D fosse incorreta e B fosse correta, o valor de $\chi^2$ calculado deveria estar entre 3,84 e 6,64, o que não é o caso com os dados fornecidos.
• (E) Incorreta: Ao nível de significância de 10% (cujo valor crítico para 1 grau de liberdade seria ainda menor que 3,84, por exemplo, $X^2_{1;10\%} \approx 2,71$), o valor calculado de 31,67 é muito maior. Portanto, a hipótese nula seria rejeitada, e não "não se rejeita".