Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 38)

O teste de hipóteses para a média nos ajuda a decidir se a média de uma amostra é significativamente diferente de um valor esperado, usando a distribuição normal padrão (Z) quando o desvio padrão populacional é conhecido. Calculamos uma estatística de teste (Z) e comparamos sua probabilidade (p-valor) com um nível de significância ($\alpha$) para decidir se rejeitamos a hipótese nula ($H_0$).

1. Calcular a estatística de teste Z:
   A fórmula para o Z-score é $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$.
   Dados: $\bar{x} = 6140$, $\mu_0 = 6000$, $\sigma = 800$, $n = 64$.
   $Z = \frac{6140 - 6000}{800 / \sqrt{64}} = \frac{140}{800 / 8} = \frac{140}{100} = 1.40$.

2. Determinar o p-valor:
   As hipóteses são $H_0: \mu = 6000$ e $H_1: \mu > 6000$. Este é um teste unilateral à direita.
   O p-valor é a probabilidade de observar um Z-score de 1.40 ou mais extremo, ou seja, $P(Z > 1.40)$.
   A tabela fornece $P(|Z| \le z)$. Para $z = 1.40$, $P(|Z| \le 1.40) = 0.8385$.
   Isso significa que a área entre -1.40 e 1.40 é 0.8385.
   A área total sob a curva é 1. A área nas duas caudas é $1 - 0.8385 = 0.1615$. Como é um teste unilateral à direita, o p-valor é a área da cauda direita:$P(Z > 1.40) = 0.1615 / 2 = 0.08075$.
   Portanto, o p-valor é aproximadamente 8.075%.

3. Comparar o p-valor com o nível de significância ($\alpha$):

   • Se p-valor $\le \alpha$, rejeitamos $H_0$.
   • Se p-valor $> \alpha$, não rejeitamos $H_0$.

Analisando as alternativas (considerando $\beta$ como o nível de significância $\alpha$):

• (A) Incorreta: Ao nível de significância de 10% ($\alpha = 0.10$), o p-valor ($0.08075$) é menor ou igual a$\alpha$. Logo,$H_0$**é rejeitada**. A alternativa afirma que$H_0$ não é rejeitada.
• (B) Incorreta: Ao nível de significância de 5% ($\alpha = 0.05$), o p-valor ($0.08075$) é maior que$\alpha$. Logo,$H_0$**não é rejeitada**. A alternativa afirma que$H_0$ é rejeitada a 5%.
• (C) Incorreta: Se $\alpha < 5\%$ (por exemplo, $\alpha = 0.01$), o p-valor ($0.08075$) é maior que$\alpha$. Logo,$H_0$**não é rejeitada**. A alternativa afirma que$H_0$ é rejeitada.
• (D) Incorreta: Se $5\% < \alpha < 10\%$. Por exemplo, se $\alpha = 9\%$ ($0.09), o p-valor (\0.08075$) é menor ou igual a$\alpha$. Logo,$H_0$**é rejeitada**. A alternativa afirma que$H_0$não é rejeitada para todo$\alpha$ nesse intervalo, o que é falso.
• (E) Correta: Se $10\% < \alpha < 100\%$. Isso significa que $\alpha$ é qualquer valor maior que 10%. Como o p-valor ($0.08075$ou$8.075%$) é menor que$10%$, ele será sempre menor que qualquer$\alpha > 10%$. Portanto, para qualquer$\alpha$nesse intervalo, p-valor$\le \alpha$, e$H_0$ é rejeitada.