Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 37)

Um intervalo de confiança é uma faixa de valores onde esperamos que a verdadeira média de uma população esteja, com uma certa probabilidade (o nível de confiança), baseado nos dados de uma amostra. Quando a variância populacional é conhecida e a amostra é grande, usamos a distribuição normal para construir este intervalo, e se a amostragem é sem reposição de uma população finita, precisamos ajustar o desvio padrão da média amostral com um fator de correção para população finita (FPCF).

A fórmula geral para o intervalo de confiança da média populacional ($\mu$) quando $\sigma$ é conhecido é:
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\bar{x}}$

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral.
• $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado.
• $\sigma_{\bar{x}}$ é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).

1. Dados fornecidos:

   • Tamanho da população ($N$) = 1025
   • Tamanho da amostra ($n$) = 400
   • Variância populacional ($\sigma^2$) = 256 $\implies$ Desvio padrão populacional ($\sigma$) = $\sqrt{256} = 16$
   • Média amostral ($\bar{x}$) = 80
   • Nível de confiança = 90%

2. Determinar $z_{\alpha/2}$:
   Para um nível de confiança de 90%, procuramos na tabela o valor de $z$ tal que $P(|Z| \le z) = 0.90$. A tabela fornece $z = 1.645$.

3. Calcular o Fator de Correção para População Finita (FPCF):
   Como a amostragem é sem reposição de uma população finita, o FPCF é necessário:
   FPCF = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\frac{1025-400}{1025-1}} = \sqrt{\frac{625}{1024}} = \frac{25}{32} = 0.78125\

4. Calcular o Desvio Padrão da Média Amostral ($\sigma_{\bar{x}}$):
   \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times FPCF = \frac{16}{\sqrt{400}} \times 0.78125 = \frac{16}{20} \times 0.78125 = 0.8 \times 0.78125 = 0.625\

5. Calcular a Margem de Erro (ME):
   ME = z_{\alpha/2} \times \sigma_{\bar{x}} = 1.645 \times 0.625 = 1.028125\

6. Construir o Intervalo de Confiança:
   $IC = \bar{x} \pm ME = 80 \pm 1.028125$

   • Limite Inferior = $80 - 1.028125 = 78.971875$
   • Limite Superior = $80 + 1.028125 = 81.028125$O intervalo de confiança exato seria aproximadamente$[78.972; 81.028]$.

Comparando com as alternativas, a alternativa A é a mais próxima, sugerindo que um arredondamento do valor $z$ ou da margem de erro pode ter sido usado na sua formulação (por exemplo, se $z=1.64$ fosse usado, a margem de erro seria $1.64 \times 0.625 = 1.025$).

• (A) Correta: O intervalo $[78,975; 81,025]$ é obtido calculando corretamente o desvio padrão da média amostral com o fator de correção para população finita ($\sigma_{\bar{x}} = 0.625$) e multiplicando por um valor $z$ (aproximadamente $1.64) para obter a margem de erro (aproximadamente \1.025$). Apesar da tabela fornecer$z=1.645$, o resultado mais próximo é este, indicando que$z=1.64$ foi utilizado para chegar a esta alternativa.
• (B) Incorreta: Os valores não correspondem aos cálculos corretos com FPCF e $z=1.645$ (ou $z=1.64$).
• (C) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Ela seria obtida se o Fator de Correção para População Finita (FPCF) NÃO fosse aplicado. Sem o FPCF, $\sigma_{\bar{x}} = \frac{16}{\sqrt{400}} = 0.8$. Com $z=1.645$, a margem de erro seria $1.645 \times 0.8 = 1.316$. O intervalo seria $80 \pm 1.316 = [78.684; 81.316]$, que é muito próximo a esta alternativa. A armadilha é esquecer que a amostragem é de uma população finita e sem reposição.
• (D) Incorreta: Os valores não correspondem aos cálculos corretos com FPCF e $z=1.645$ (ou $z=1.64$).
• (E) Incorreta: Os valores não correspondem aos cálculos corretos com FPCF e $z=1.645$ (ou $z=1.64$).