Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 36)

A distribuição normal descreve como os dados se espalham em torno de uma média, formando uma curva em forma de sino. Para trabalhar com ela, padronizamos os valores (transformamos em "Z-scores") usando a fórmula $Z = (X - \mu) / \sigma$, onde $X$ é o valor, $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. A tabela fornecida mostra probabilidades $P(|Z| \le z)$, que representa a área sob a curva normal padrão entre $-z$ e $z$.

1. Encontrando o desvio padrão ($\sigma$):

   • Sabemos que 20% das peças diferem da média em mais de 1,92 cm. Isso significa $P(|X - \mu| > 1.92) = 0.20$.
   • Padronizando, temos $P(|Z| > \frac{1.92}{\sigma}) = 0.20$.
   • Se 20% está fora do intervalo, então $100\% - 20\% = 80\%$ está dentro do intervalo. Assim, $P(|Z| \le \frac{1.92}{\sigma}) = 0.80$.
   • Consultando a tabela, para $P(|Z| \le z) = 0.80$, encontramos $z = 1.28$.
   • Portanto, $\frac{1.92}{\sigma} = 1.28 \implies \sigma = \frac{1.92}{1.28} = 1.5$ cm.

2. Encontrando a média ($\mu$):

   • Sabemos que 7% das peças apresentam diâmetro inferior a 5,78 cm. Isso significa $P(X < 5.78) = 0.07$.
   • Padronizando, temos $P(Z < \frac{5.78 - \mu}{1.5}) = 0.07$.
   • Como 0.07 é menor que 0.5, o Z-score correspondente deve ser negativo. Seja $z_0 = \frac{5.78 - \mu}{1.5}$.
   • $P(Z < z_0) = 0.07$. Pela simetria da curva normal, $P(Z > -z_0) = 0.07$.
   • Isso implica que $P(Z \le -z_0) = 1 - 0.07 = 0.93$.
   • Para usar a tabela $P(|Z| \le z)$, que é $P(-z \le Z \le z)$, sabemos que $P(|Z| \le -z_0) = P(Z \le -z_0) - P(Z < z_0)$.
   • Substituindo os valores, $P(|Z| \le -z_0) = 0.93 - 0.07 = 0.86$.
   • Consultando a tabela, para $P(|Z| \le z) = 0.86$, encontramos $z = 1.48$.
   • Portanto, $-z_0 = 1.48 \implies z_0 = -1.48$.
   • Agora, substituímos de volta: $\frac{5.78 - \mu}{1.5} = -1.48$.
   • $5.78 - \mu = -1.48 \times 1.5 = -2.22$.
   • $\mu = 5.78 + 2.22 = 8.00$ cm.

3. Encontrando o diâmetro superior a $x_0$ para 5% das peças:

   • Queremos encontrar $x_0$ tal que $P(X > x_0) = 0.05$.
   • Padronizando, temos $P(Z > \frac{x_0 - 8.00}{1.5}) = 0.05$.
   • Seja $z_1 = \frac{x_0 - 8.00}{1.5}$.
   • $P(Z > z_1) = 0.05$. Isso implica que $P(Z \le z_1) = 1 - 0.05 = 0.95$.
   • Para usar a tabela $P(|Z| \le z)$, sabemos que $P(|Z| \le z_1) = P(Z \le z_1) - P(Z < -z_1)$.
   • Como $P(Z < -z_1)$ é a probabilidade da cauda esquerda correspondente a $P(Z > z_1)$, temos $P(Z < -z_1) = P(Z > z_1) = 0.05$.
   • Substituindo os valores, $P(|Z| \le z_1) = 0.95 - 0.05 = 0.90$.
   • Consultando a tabela, para $P(|Z| \le z) = 0.90$, encontramos $z = 1.64$.
   • Portanto, $z_1 = 1.64$.
   • Agora, substituímos de volta: $\frac{x_0 - 8.00}{1.5} = 1.64$.
   • $x_0 - 8.00 = 1.64 \times 1.5 = 2.46$.
   • $x_0 = 8.00 + 2.46 = 10.46$ cm.

Alternativas:

• (A) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado.
• (B) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Ela seria obtida se, ao calcular a média ($\mu$), você interpretasse $P(Z < z_0) = 0.07$ de forma incorreta para a tabela $P(|Z| \le z)$. Um erro comum seria considerar $P(|Z| \le -z_0) = 1 - 0.07 = 0.93$ diretamente, o que levaria a um Z-score de aproximadamente 1.83 (interpolando entre 1.78 e 1.88 na tabela) em vez de 1.48. Isso resultaria em uma média $\mu \approx 8.525$ e, consequentemente, $x_0 \approx 10.985$. A armadilha está em não subtrair a probabilidade da cauda esquerda ($P(Z < z_0)$) da probabilidade acumulada $P(Z \le -z_0)$ ao usar a tabela de $P(|Z| \le z)$ para encontrar o valor de Z para uma cauda.
• (C) Correta: O valor de 10,46 cm é o resultado correto das etapas de cálculo, utilizando a padronização e a interpretação correta da tabela de probabilidades $P(|Z| \le z)$.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado.