Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 35)

Uma variável aleatória uniforme é aquela em que todos os valores dentro de um intervalo específico têm a mesma probabilidade de ocorrer. Fora desse intervalo, a probabilidade é zero.

• Passo 1: Encontrar os parâmetros 'a' e 'b' da distribuição.
  Para uma distribuição uniforme no intervalo $(a, b)$:

  • A média é $E[X] = \frac{a+b}{2}$.
  • A variância é $Var[X] = \frac{(b-a)^2}{12}$.

  Dados do problema:

  • $E[X] = 4 \Rightarrow \frac{a+b}{2} = 4 \Rightarrow a+b = 8$ (Equação 1)
  • $Var[X] = 3 \Rightarrow \frac{(b-a)^2}{12} = 3 \Rightarrow (b-a)^2 = 36$

  Como $0 < a < b$, temos que $b-a$ deve ser positivo.

  • $b-a = \sqrt{36} \Rightarrow b-a = 6$ (Equação 2)

  Agora, resolvemos o sistema de equações:

  1. a+b = 8\
  2. $b-a = 6$

  Somando as duas equações: $(a+b) + (b-a) = 8+6 \Rightarrow 2b = 14 \Rightarrow b = 7$.
  Substituindo $b=7$ na Equação 1: $a+7 = 8 \Rightarrow a = 1$.
  Confirmamos que $0 < a < b (\0 < 1 < 7$). Portanto, a variável aleatória X está uniformemente distribuída no intervalo$(1, 7)$.

• Passo 2: Calcular a probabilidade $P(2 < X < 5)$.
  Para uma distribuição uniforme no intervalo $(a, b)$, a probabilidade de X estar entre $c$ e $d$ (onde $a \le c < d \le b$) é $P(c < X < d) = \frac{d-c}{b-a}$.

  No nosso caso, $a=1$, $b=7$, $c=2$ e $d=5$.
  Verificamos que $1 \le 2 < 5 \le 7$, ou seja, o intervalo $(2, 5)$ está contido em $(1, 7)$.
  $P(2 < X < 5) = \frac{5-2}{7-1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

• (A) Incorreta: O valor de $2/3$ não corresponde ao cálculo da probabilidade para os parâmetros encontrados.

• (B) Correta: A probabilidade $P(2 < X < 5)$ é $\frac{5-2}{7-1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, após determinar que $X$ está distribuída uniformemente no intervalo $(1, 7)$ a partir da média e variância fornecidas.

• (C) Incorreta: O valor de $3/4$ não é o resultado correto da probabilidade.

• (D) Incorreta: O valor de $4/7$não é o resultado correto. **Armadilha:** Este valor poderia surgir de um erro na determinação do intervalo$(a,b)$ou na aplicação da fórmula da probabilidade, talvez usando$b$como denominador ou$a$ no numerador de forma equivocada.

• (E) Incorreta: O valor de $3/5$ não é o resultado correto da probabilidade.