Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 33)

A função geradora de momentos (FGM) é uma ferramenta matemática que permite encontrar os momentos (como a média e a variância) de uma variável aleatória através de suas derivadas, sem precisar calcular integrais complexas.

• (A) Incorreta: A média calculada é 4, não 2. A variância é 8, não 4.
• (B) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. A variância (8) está correta, mas a média (2) está incorreta. Um erro comum seria confundir o expoente da FGM com o número de graus de liberdade ($r$). A FGM de uma qui-quadrado com $r$ graus de liberdade é $M_X(t) = (1 - 2t)^{-r/2}$. Comparando com $M_X(t) = (1 - 2t)^{-2}$, temos $-r/2 = -2$, o que implica $r=4$. Se o aluno erroneamente pensasse que $r=2$ (talvez pelo expoente -2), a média seria 2, mas a variância seria $2r = 2 \times 2 = 4$, não 8. Portanto, a combinação 2 e 8 não se encaixa em um $r$ único.
• (C) Incorreta: A média calculada é 4, não 2. A variância é 8, não 12.
• (D) Incorreta: A média (4) está correta, mas a variância (24) está incorreta.
• (E) Correta: Para encontrar a média e a variância a partir da FGM $M_X(t) = (1 - 2t)^{-2}$:
  1. Média ($E[X]$): É a primeira derivada da FGM avaliada em $t=0$.
     $M_X'(t) = \frac{d}{dt} (1 - 2t)^{-2} = -2(1 - 2t)^{-3} \cdot (-2) = 4(1 - 2t)^{-3}$
     $E[X] = M_X'(0) = 4(1 - 2 \cdot 0)^{-3} = 4(1)^{-3} = 4$.
  2. Segundo momento ($E[X^2]$): É a segunda derivada da FGM avaliada em $t=0$.
     $M_X''(t) = \frac{d}{dt} [4(1 - 2t)^{-3}] = 4 \cdot (-3)(1 - 2t)^{-4} \cdot (-2) = 24(1 - 2t)^{-4}$
     $E[X^2] = M_X''(0) = 24(1 - 2 \cdot 0)^{-4} = 24(1)^{-4} = 24$.
  3. Variância ($Var(X)$): É calculada como $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.
     $Var(X) = 24 - (4)^2 = 24 - 16 = 8$.
     Portanto, a média é 4 e a variância é 8. Além disso, a FGM de uma distribuição qui-quadrado com $r$ graus de liberdade é $(1-2t)^{-r/2}$. Comparando com a FGM dada, $(1-2t)^{-2}$, temos $-r/2 = -2$, o que implica $r=4$. Para uma distribuição qui-quadrado com $r$ graus de liberdade, a média é $r$ e a variância é $2r$. Assim, média = 4 e variância = $2 \times 4 = 8$.