Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 32)

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como a falha de um aparelho. Para calcular a probabilidade de o evento ocorrer dentro de um intervalo de tempo, integramos a função densidade de probabilidade (PDF) ou usamos a função de distribuição acumulada (CDF).

• (A) Correta: A função densidade de probabilidade $f(t) = \frac{1}{3}e^{-t/3}$ é da forma $\lambda e^{-\lambda t}$, o que nos diz que o parâmetro da distribuição exponencial é $\lambda = \frac{1}{3}$. A média de uma distribuição exponencial é $E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1/3} = 3$ anos. A questão pede a probabilidade de o aparelho funcionar por um tempo maior que a média (3 anos) e menor que 6 anos, ou seja, $P(3 < T < 6)$. Para uma distribuição exponencial, essa probabilidade é dada por $P(a < T < b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$. Substituindo os valores, temos $P(3 < T < 6) = e^{-(1/3) \times 3} - e^{-(1/3) \times 6} = e^{-1} - e^{-2}$.

• (B) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Ela resultaria se o estudante calculasse a média corretamente como 3 e o limite superior como 6, mas assumisse erroneamente que o parâmetro $\lambda$ da distribuição era 1 (em vez de $1/3$) ao aplicar a fórmula$e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$. Isso levaria a$e^{-1 \times 3} - e^{-1 \times 6} = e^{-3} - e^{-6}$. A armadilha aqui é ignorar o valor correto de$\lambda$ da PDF ao calcular a probabilidade.

• (C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um erro comum de cálculo para os limites ou o parâmetro $\lambda$ dados no problema. Seria o resultado de $e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ se $\lambda=1$ e os limites fossem 2 e 3, ou se $\lambda=1/3$ e os limites fossem 6 e 9.

• (D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um erro comum de cálculo para os limites ou o parâmetro $\lambda$ dados no problema. Seria o resultado de $e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ se $\lambda=1$ e os limites fossem 2 e 6, ou se $\lambda=1/3$ e os limites fossem 6 e 18.

• (E) Incorreta: Esta alternativa resultaria se o estudante assumisse erroneamente que o parâmetro $\lambda$ da distribuição era 1 (em vez de $1/3$) e, consequentemente, calculasse a média como$1/\lambda = 1/1 = 1$. O intervalo de interesse seria então$P(1 < T < 6)$, o que levaria a$e^{-1 \times 1} - e^{-1 \times 6} = e^{-1} - e^{-6}$.