Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 31)

A Distribuição de Poisson é um modelo de probabilidade que descreve o número de vezes que um evento raro acontece em um intervalo fixo de tempo ou espaço, assumindo que esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente. O único parâmetro necessário é a média (λ) de ocorrências. A probabilidade de ocorrerem $k$ eventos é dada por $P(N=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$.

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar o valor de $\lambda$.
A condição dada é $P(N=2 \text{ ou } N=3) = 3 \times P(N=1)$.
Como os eventos $N=2$ e $N=3$ são mutuamente exclusivos, $P(N=2 \text{ ou } N=3) = P(N=2) + P(N=3)$.

Usando a fórmula da distribuição de Poisson:
$P(N=1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda$
$P(N=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2}$
$P(N=3) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{6}$

Substituindo na condição:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2} + \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{6} = 3 \times (e^{-\lambda} \lambda)$

Podemos dividir todos os termos por $e^{-\lambda} \lambda$ (assumindo $\lambda > 0$, o que é esperado para uma média de sinistros):
$\frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda^2}{6} = 3$

Multiplicando a equação por 6 para eliminar os denominadores:
$3\lambda + \lambda^2 = 18$
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
$\lambda^2 + 3\lambda - 18 = 0$

Fatorando a equação:
$(\lambda + 6)(\lambda - 3) = 0$

As possíveis soluções para $\lambda$ são $\lambda = -6$ ou $\lambda = 3$. Como $\lambda$ representa uma média de ocorrências, deve ser um valor não-negativo. Portanto, $\lambda = 3$.

Agora, precisamos calcular a probabilidade de ocorrerem pelo menos 2 sinistros em um mês, ou seja, $P(N \ge 2)$.
Podemos calcular isso como $1 - P(N < 2), que é \1 - [P(N=0) + P(N=1)]$.

Calculando $P(N=0)$ e $P(N=1)$ com $\lambda = 3$:
$P(N=0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = e^{-3} \times 1 = e^{-3}$
$P(N=1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = 3e^{-3}$

Usando os valores dados: $e^{-3} = 0,05$.
$P(N=0) = 0,05$
$P(N=1) = 3 \times 0,05 = 0,15$

Agora, calculamos $P(N \ge 2)$:
$P(N \ge 2) = 1 - (P(N=0) + P(N=1))$
$P(N \ge 2) = 1 - (0,05 + 0,15)$
$P(N \ge 2) = 1 - 0,20$
$P(N \ge 2) = 0,80$

Convertendo para porcentagem, $0,80 = 80\%$.

(A) Incorreta: O valor de 85% não corresponde aos cálculos corretos.
(B) Correta: A probabilidade de ocorrerem pelo menos 2 sinistros é de 80%, obtida calculando $1 - (P(N=0) + P(N=1))$após determinar que a média$\lambda$é 3. **(C) Incorreta:** Esta alternativa, 95$1 - P(N=0) = 1 - 0,05 = 0,95$. A armadilha da banca é testar a interpretação correta de "pelo menos 2".
(D) Incorreta: O valor de 86% não corresponde aos cálculos corretos.
(E) Incorreta: O valor de 63% não corresponde aos cálculos corretos.