Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 30)

O Teorema de Tchebichev estabelece uma probabilidade mínima de que uma variável aleatória (um valor numérico cujo resultado é determinado por um fenômeno aleatório) esteja dentro de um determinado número de desvios padrão (medida de dispersão dos dados em relação à média) de sua média (valor esperado), mesmo quando a sua distribuição (o padrão de como os valores se espalham) é desconhecida. A fórmula é $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$, onde $\mu$ é a média, $\sigma$ é o desvio padrão e $k$ é um fator positivo.

Para resolver a questão:

1. Identificamos a média $\mu = 15$.
2. O intervalo é $(15 - m, 15 + m)$. A amplitude desse intervalo é $(15 + m) - (15 - m) = 2m$.
3. Dado que a amplitude é 10, temos $2m = 10 \Rightarrow m = 5$.
4. Pelo Teorema de Tchebichev, o intervalo $(\mu - m, \mu + m)$ corresponde a $(\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)$. Assim, $m = k\sigma$. Substituindo $m=5$, obtemos $k\sigma = 5$.
5. A probabilidade mínima é $8/9$. Usando a fórmula de Tchebichev,$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{8}{9}$.
6. Resolvendo para $k$: $\frac{1}{k^2} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \Rightarrow k^2 = 9 \Rightarrow k = 3$ (pois $k$ é positivo).
7. Agora, substituímos $k=3$ na equação $k\sigma = 5$: $3\sigma = 5 \Rightarrow \sigma = \frac{5}{3}$.

(A) Incorreta: O valor $2/3$não é obtido por nenhuma aplicação correta do teorema. **(B) Incorreta:** Esta alternativa pode ser um distrator para quem confunde a relação entre$m$,$k$e$\sigma$, talvez calculando$\sigma = m/k^2$em vez de$\sigma = m/k. **(C) Incorreta:** O valor \4/3 não é resultado de nenhum cálculo correto com os dados fornecidos. **(D) Incorreta:** O valor \2/9$não é obtido por nenhuma aplicação correta do teorema. **(E) Correta:** O desvio padrão é$\frac{5}{3}$, conforme demonstrado pelos cálculos baseados no Teorema de Tchebichev.