Questão de Estatística · FCC TRT5 2022 (nº 29)

A esperança condicional de uma variável aleatória Y, dado que outra variável aleatória X assumiu um valor específico, é o valor médio esperado de Y apenas quando X tem aquele valor. Para calculá-la, primeiro determinamos a função de probabilidade condicional de Y dado X, e então usamos essa função para ponderar os possíveis valores de Y.

Para resolver, seguimos os passos:

1. Calcular a constante c: A soma de todas as probabilidades conjuntas deve ser 1.
   $\sum_{x=0}^2 \sum_{y=0}^2 c(2x+3y) = c \left[ (2(0)+3(0)) + (2(0)+3(1)) + (2(0)+3(2)) + (2(1)+3(0)) + (2(1)+3(1)) + (2(1)+3(2)) + (2(2)+3(0)) + (2(2)+3(1)) + (2(2)+3(2)) \right]$
   $= c [0+3+6+2+5+8+4+7+10] = c[45]$.
   Portanto, $45c = 1 \implies c = \frac{1}{45}$.

2. Calcular a probabilidade marginal de X=1, $P(X=1)$:
   $P(X=1) = \sum_{y=0}^2 f(1,y) = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)$
   $= c(2(1)+3(0)) + c(2(1)+3(1)) + c(2(1)+3(2))$
   $= c(2) + c(5) + c(8) = c(15) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

3. Calcular a função de probabilidade condicional de Y dado X=1, $P(Y=y|X=1)$:
   $P(Y=y|X=1) = \frac{f(1,y)}{P(X=1)} = \frac{c(2(1)+3y)}{1/3} = \frac{\frac{1}{45}(2+3y)}{1/3} = \frac{3(2+3y)}{45} = \frac{2+3y}{15}$.
   Para $y=0: P(Y=0|X=1) = \frac{2+3(0)}{15} = \frac{2}{15}$.
   Para $y=1: P(Y=1|X=1) = \frac{2+3(1)}{15} = \frac{5}{15}$.
   Para $y=2: P(Y=2|X=1) = \frac{2+3(2)}{15} = \frac{8}{15}$.
   (Note que a soma $2/15 + 5/15 + 8/15 = 15/15 = 1$, o que está correto).

4. Calcular a esperança condicional $E(Y|X=1)$:
   $E(Y|X=1) = \sum_{y=0}^2 y \cdot P(Y=y|X=1)$
   $= 0 \cdot \frac{2}{15} + 1 \cdot \frac{5}{15} + 2 \cdot \frac{8}{15}$
   $= 0 + \frac{5}{15} + \frac{16}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}$.

• (A) Incorreta: O valor $\frac{5}{3}$ pode ser obtido se, ao calcular $E(Y|X=1)$, você usar incorretamente o valor de $f(2,2)$ (que é $10c$) em vez de $f(1,2)$ (que é $8c$) para o termo $y=2$ na probabilidade condicional. Isso levaria a $P(Y=2|X=1) = \frac{10c}{15c} = \frac{10}{15}$, e a esperança seria $0 \cdot \frac{2}{15} + 1 \cdot \frac{5}{15} + 2 \cdot \frac{10}{15} = \frac{5+20}{15} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$.
• (B) Correta: O valor $\frac{7}{5}$ é o resultado correto da aplicação da definição de esperança condicional, calculando a média ponderada dos valores de Y ($0, 1, 2$) pelas suas respectivas probabilidades condicionais$P(Y=y|X=1) (\2/15, 5/15, 8/15$).
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo ou conceito na esperança condicional.
• (D) Incorreta: O valor $\frac{15}{3} = 5$ pode ser obtido se você calcular a média dos valores de $(2x+3y)$ para $x=1$ (que são $2, 5, 8$) e dividir pelo número de termos (3), resultando em$(2+5+8)/3 = 15/3 = 5$. No entanto, a esperança condicional de Y requer a média ponderada dos valores de Y pelas suas probabilidades condicionais, não a média dos valores da função de probabilidade conjunta.
• (E) Incorreta: Este valor é o inverso do resultado correto, ou não corresponde a um erro comum de cálculo ou conceito.