Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 60)

A média de uma distribuição de probabilidade contínua é o valor esperado da variável aleatória, calculado integrando o produto da variável pela sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) em todo o seu domínio. Para encontrar a f.d.p. a partir da função de distribuição acumulada (F.D.A.), derivamos a F.D.A. em relação à variável.

A F.D.A. é $F(x) = 1 - (\theta/x)^{\alpha}$ para $x \geq \theta$.
Primeiro, encontramos a f.d.p., $f(x)$, derivando $F(x)$:
$f(x) = \frac{d}{dx} [1 - \theta^{\alpha} x^{-\alpha}] = 0 - \theta^{\alpha} (-\alpha) x^{-\alpha - 1} = \alpha \theta^{\alpha} x^{-(\alpha + 1)}$ para $x \geq \theta$.

A média $E[X]$ é calculada por $E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot f(x) dx$:
$E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot (\alpha \theta^{\alpha} x^{-(\alpha + 1)}) dx$
$E[X] = \int_{\theta}^{\infty} \alpha \theta^{\alpha} x^{1 - (\alpha + 1)} dx$
$E[X] = \int_{\theta}^{\infty} \alpha \theta^{\alpha} x^{-\alpha} dx$

Integrando:
$E[X] = \alpha \theta^{\alpha} \left[ \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \right]_{\theta}^{\infty}$
$E[X] = \alpha \theta^{\alpha} \left[ \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \right]_{\theta}^{\infty}$

Como $\alpha > 1$, $1 - \alpha < 0$. Assim, quando $x \to \infty$, $x^{1 - \alpha} \to 0$.
$E[X] = \alpha \theta^{\alpha} \left[ 0 - \frac{\theta^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \right]$
$E[X] = \alpha \theta^{\alpha} \left[ \frac{-\theta^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \right]$
$E[X] = \alpha \theta^{\alpha} \left[ \frac{\theta^{1 - \alpha}}{\alpha - 1} \right]$
$E[X] = \frac{\alpha \theta^{\alpha + 1 - \alpha}}{\alpha - 1}$
$E[X] = \frac{\alpha \theta}{\alpha - 1}$

(A) Incorreta: Esta alternativa está faltando o parâmetro $\alpha$ no numerador. Um erro comum seria esquecer de incluí-lo após a integração ou manipulação algébrica.
(B) Correta: Esta é a fórmula padrão para a média de uma distribuição de Pareto de Tipo I, obtida corretamente a partir da integração da f.d.p.
(C) Incorreta: A estrutura da fórmula está incorreta, com $\theta$ no denominador e $\alpha$ no numerador sem $\theta$.
(D) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. A condição de convergência da integral exige que $\alpha > 1$, o que faz com que o denominador seja $\alpha - 1$. Trocar $\alpha$ por $\theta$ no denominador ($\theta - 1$) é um erro de manipulação ou confusão dos parâmetros, e a condição $\theta > 1$ não é necessária para a existência da média.
(E) Incorreta: A estrutura da fórmula está completamente diferente do resultado esperado.