Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 54)

O teste t de Student é uma ferramenta estatística usada para verificar se a média de uma amostra é significativamente diferente de um valor conhecido (ou de outra amostra), especialmente quando a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena. O p-valor é a probabilidade de observar um resultado tão extremo quanto o obtido, assumindo que a hipótese nula (H₀) é verdadeira. Se o p-valor for menor que o nível de significância ($\alpha$), rejeitamos H₀; caso contrário, não a rejeitamos.

1. Calcular as estatísticas da amostra:

• Tamanho da amostra ($n$) = 9
• Soma dos elementos ($\sum x_i$) = 54
• Soma dos quadrados dos elementos ($\sum x_i^2$) = 374
• Média da amostra ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{54}{9} = 6$
• Variância da amostra ($s^2$): $s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} \right) = \frac{1}{9-1} \left( 374 - \frac{54^2}{9} \right) = \frac{1}{8} \left( 374 - \frac{2916}{9} \right) = \frac{1}{8} (374 - 324) = \frac{50}{8} = 6.25$
• Desvio padrão da amostra ($s$): $s = \sqrt{6.25} = 2.5$

2. Formular as hipóteses:

• H₀: $\mu = 4.3$ (A média populacional é 4.3)
• H₁: $\mu \neq 4.3$ (A média populacional difere de 4.3) - Este é um teste bicaudal.

3. Calcular o valor da estatística t:

• A fórmula para o teste t é: $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
• Onde $\mu_0$ é o valor da média sob a hipótese nula (4.3).
• $t = \frac{6 - 4.3}{2.5 / \sqrt{9}} = \frac{1.7}{2.5 / 3} = \frac{1.7}{0.8333...} \approx 2.04$

4. Determinar os graus de liberdade (gl):

• $gl = n - 1 = 9 - 1 = 8$

5. Encontrar o p-valor usando a tabela t de Student:

• Para um teste bicaudal, precisamos encontrar a probabilidade de $|t|$ ser maior que 2.04.
• Consultando a linha de $gl = 8$ na tabela:
  • $P(t > 1.860) = 0.05$ (para uma cauda)
  • $P(t > 2.306) = 0.025$ (para uma cauda)
• Como $1.860 < 2.04 < 2.306$, o p-valor para uma cauda está entre 0.025 e 0.05.
• Para um teste bicaudal, o p-valor é $2 \times P(t > |2.04|)$.
• Portanto, $2 \times 0.025 < \text{p-valor} < 2 \times 0.05$.
• Isso significa que $0.05 < \text{p-valor} < 0.10$, ou seja, $5\% < \text{p-valor} < 10\%$.

6. Avaliar as alternativas com base no p-valor:

• Se o nível de significância ($\alpha$) for maior que o p-valor, rejeitamos H₀.

• Se o nível de significância ($\alpha$) for menor que o p-valor, não rejeitamos H₀.

• (A) Incorreta: Se $\alpha = 10\%$, e o p-valor está entre 5% e 10% (por exemplo, 7%), então $\text{p-valor} < \alpha$. Neste caso, H₀ seria rejeitada. A alternativa afirma que H₀ não é rejeitada.

• (B) Correta: Se $\beta < 5\%$, então $\beta$ é menor que o p-valor (que está entre 5% e 10%). Quando $\beta < \text{p-valor}$, H₀ não é rejeitada. Por exemplo, se $\beta = 2\%$ e o p-valor é $7\%$, não rejeitamos H₀.

• (C) Incorreta: Se $5\% < \beta < 10\%$, a conclusão depende do valor exato do p-valor. Por exemplo, se o p-valor for $6\%$ e $\beta = 7\%$, H₀ é rejeitada. Mas se o p-valor for $8\%$ e $\beta = 7\%$, H₀ não é rejeitada. A alternativa afirma que H₀ é rejeitada para qualquer $\beta$ nesse intervalo, o que não é garantido.

• (D) Incorreta: Ao nível de significância de 5%, o p-valor ($>5\%$) é maior que $\alpha$, então H₀ não é rejeitada (esta parte está correta). No entanto, ao nível de significância de 10%, o p-valor ($<10\%$) é menor que $\alpha$, então H₀ é rejeitada. A alternativa afirma que H₀ não é rejeitada em ambos os níveis.

• (E) Incorreta: Se $\beta > 10\%$, então $\beta$ é maior que o p-valor (que está entre 5% e 10%). Quando $\beta > \text{p-valor}$, H₀ é rejeitada. A alternativa afirma que H₀ não é rejeitada.