Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 47)

Para gerar valores aleatórios de uma distribuição usando o método da transformação inversa, primeiro encontramos a Função de Distribuição Acumulada (FDA) $F(x)$ da distribuição desejada. Em seguida, calculamos sua inversa, $F^{-1}(U)$, onde $U$ é um número aleatório uniformemente distribuído entre 0 e 1.

A função de densidade de probabilidade (PDF) dada é $f(x) = e^{-x}$ para $x > 0$. Esta é a PDF de uma distribuição exponencial com parâmetro $\lambda = 1$.

1. Encontrar a FDA, $F(x)$:
   $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x e^{-t} dt = [-e^{-t}]_0^x = -e^{-x} - (-e^0) = 1 - e^{-x}$.

2. Encontrar a inversa da FDA, $F^{-1}(U)$:
   Igualamos $U = F(x)$:
   $U = 1 - e^{-x}$
   $e^{-x} = 1 - U$
   Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
   $-x = \ln(1 - U)$
   x = -\ln(1 - U)\

3. Aplicar a fórmula aos valores de $U$ fornecidos:
   Usaremos $\ln 2 = 0,6931$ e $\ln 3 = 1,0986$.

   • Para $u_1 = 0,25$:
     $x_1 = -\ln(1 - 0,25) = -\ln(0,75) = -\ln(3/4) = \ln(4/3) = \ln 4 - \ln 3 = 2 \ln 2 - \ln 3$
     $x_1 = 2(0,6931) - 1,0986 = 1,3862 - 1,0986 = 0,2876$.

   • Para $u_2 = 0,50$:
     $x_2 = -\ln(1 - 0,50) = -\ln(0,5) = -\ln(1/2) = \ln 2$
     $x_2 = 0,6931$.

   • Para $u_3 = 0,75$:
     $x_3 = -\ln(1 - 0,75) = -\ln(0,25) = -\ln(1/4) = \ln 4 = 2 \ln 2$
     $x_3 = 2(0,6931) = 1,3862$.

   Os valores simulados são $x_1 = 0,2876$, $x_2 = 0,6931$ e $x_3 = 1,3862$.

• (A) Incorreta: Os valores de $x_2$ e $x_3$ não correspondem aos cálculos corretos. $x_3 = 0,6931$ é, na verdade, o valor correto para $x_2$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa simplesmente lista os valores de $U$ em ordem inversa, sem aplicar qualquer transformação. A armadilha aqui é a de não realizar a transformação inversa, assumindo que $X$ seria $U$ ou $1-U$ de forma simplista.
• (C) Incorreta: Os valores não correspondem aos cálculos. $x_1 = 0,6931$ é o valor correto para $x_2$, e $x_3 = 1,0986$ é o valor de $\ln 3$, não um resultado da transformação para $u_3$.
• (D) Incorreta: Os valores apresentados não correspondem aos cálculos. Embora $x_3 = 1,0986$ seja o valor de $\ln 3$ fornecido, ele não é o resultado correto da transformação para $u_3$.
• (E) Correta: Todos os valores calculados ($x_1 = 0,2876$; $x_2 = 0,6931$; $x_3 = 1,3862$) correspondem exatamente aos resultados obtidos pela aplicação correta do método da transformação inversa.