Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 42)

No modelo de regressão linear simples, o objetivo é estimar a relação entre variáveis. Os estimadores são fórmulas que usamos para calcular os valores dos parâmetros desconhecidos (como $\beta_0$ e $\beta_1$) a partir dos dados da amostra. As propriedades desses estimadores, como serem não tendenciosos (acertam a média do valor verdadeiro) ou terem variância mínima (são os mais precisos), dependem das suposições feitas sobre o modelo, especialmente sobre os erros.

(A) Incorreta: As estimativas de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para $\beta_0$ e $\beta_1$ são não tendenciosas (não viesadas) sob condições mais gerais. No entanto, para que sejam de variância mínima entre todos os estimadores lineares e não tendenciosos (propriedade BLUE - Best Linear Unbiased Estimator, garantida pelo Teorema de Gauss-Markov), é necessário que os erros tenham variância constante (homoscedasticidade). A afirmação de que não há necessidade de homoscedasticidade para a variância mínima está errada.
(B) Correta: A estimativa de máxima verossimilhança (EMV) para a variância do erro, $\sigma^2$, é dada por $\hat{\sigma}_{MLE}^2 = \frac{\sum \hat{e}_i^2}{n}$, onde $\hat{e}_i$ são os resíduos. Esta estimativa é viesada porque seu valor esperado é $E[\hat{\sigma}_{MLE}^2] = \frac{n-k}{n}\sigma^2$, onde $k$ é o número de parâmetros estimados (2 para regressão linear simples). Para ser não viesada, o denominador deveria ser $n-k$, resultando em $s^2 = \frac{\sum \hat{e}_i^2}{n-k}$. Como $n \neq n-k$, a EMV é viesada, tendendo a subestimar $\sigma^2$.
(C) Incorreta: Uma das propriedades fundamentais dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) é que a linha de regressão estimada passa pelo ponto médio dos dados $(\bar{X}, \bar{Y})$. Isso implica que a média dos valores observados de Y ($\bar{Y}$) é igual à média dos valores estimados de Y ($\bar{\hat{Y}}$).
(D) Incorreta: Uma propriedade dos resíduos de MQO ($\hat{e}_i = Y_i - \hat{Y}_i$) é que eles são não correlacionados com os valores estimados de Y ($\hat{Y}_i$). Matematicamente, a soma dos produtos dos resíduos pelos respectivos valores estimados de Y é igual a zero, ou seja, $\sum_{i=1}^{n} \hat{Y}_i \hat{e}_i = 0$. A questão usa $e_i$ (erro verdadeiro), mas no contexto de propriedades de MQO, "erros" geralmente se refere aos resíduos. Se fosse $e_i$, não seria necessariamente zero, mas a propriedade testada é com os resíduos.
(E) Incorreta: As estimativas de $\beta_0$ e $\beta_1$ obtidas por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) são idênticas às obtidas por Máxima Verossimilhança (MV) apenas quando os erros são normalmente distribuídos. Se a distribuição dos erros não é normal, o método de MV resultará em estimativas diferentes das de MQO, pois a função de verossimilhança seria diferente.