Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 29)

A Desigualdade de Tchebichev é uma regra que nos diz a probabilidade mínima (a menor chance possível) de uma variável aleatória (um número que pode mudar de forma imprevisível) estar dentro de um certo intervalo em torno de sua média (o valor central esperado), mesmo que não saibamos a forma exata da sua distribuição. A fórmula é $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$, onde $\mu$ é a média, $\sigma$ é o desvio padrão e $k$ é um número positivo que indica quantas vezes o desvio padrão o intervalo se estende da média.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos de $m$ baseados na desigualdade de Tchebichev.
• (B) Incorreta: O valor 3,00 é a distância do intervalo na primeira parte do problema ($25-22=3$), mas não é o valor de$m$ para a segunda parte. É um distrator comum, pois o aluno pode confundir as distâncias dos intervalos.
• (C) Incorreta: Este valor não é obtido pelos cálculos corretos de $m$.
• (D) Correta: Primeiro, usamos a primeira informação: $P(22 < X < 28) \ge 0.75$. Como a média é $\mu = 25$, o intervalo é $(25-3, 25+3)$. Pela desigualdade de Tchebichev, $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$. Aqui, $k\sigma = 3$. Sabemos que $1 - \frac{1}{k^2} = 0.75$, então $\frac{1}{k^2} = 0.25$, o que implica $k^2 = 4$, e portanto $k = 2$. Substituindo em $k\sigma = 3$, temos $2\sigma = 3$, então o desvio padrão $\sigma = 1.5$.
  Agora, usamos a segunda informação: $P(25 - m < X < 25 + m) \ge 0.84$. Novamente, pela desigualdade de Tchebichev, $1 - \frac{1}{k'^2} = 0.84$ (usamos $k'$ para não confundir com o $k$ anterior). Isso nos dá $\frac{1}{k'^2} = 0.16$, então $k'^2 = \frac{1}{0.16} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$. Assim, $k' = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5$.
  O intervalo é $(25 - m, 25 + m)$, o que significa que $m = k'\sigma$. Usando o valor de $\sigma = 1.5$ que encontramos e $k' = 2.5$, temos $m = 2.5 \times 1.5 = 3.75$.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos de $m$ baseados na desigualdade de Tchebichev.