Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 53)

O Método da Transformação Inversa é uma técnica para gerar números aleatórios de uma distribuição específica. Ele funciona encontrando a função de distribuição acumulada (CDF), $F(x)$, da distribuição desejada, e então resolvendo $X = F^{-1}(U)$, onde $U$ é um número aleatório uniforme entre 0 e 1.

Primeiro, calculamos a Função de Distribuição Acumulada (CDF), $F(x)$:
Para $0 < x < 1$:$F(x) = \int_0^x (1/4) dt = [t/4]_0^x = x/4$

Para $1 \leq x \leq 2$:
$F(x) = \int_0^1 (1/4) dt + \int_1^x (t - 3/4) dt$
$F(x) = 1/4 + [t^2/2 - 3t/4]_1^x$
$F(x) = 1/4 + (x^2/2 - 3x/4) - (1^2/2 - 3(1)/4)$
$F(x) = 1/4 + x^2/2 - 3x/4 - (1/2 - 3/4)$
$F(x) = 1/4 + x^2/2 - 3x/4 - (-1/4)$
$F(x) = x^2/2 - 3x/4 + 1/2$

Então, a CDF é:
$F(x) = \begin{cases} x/4, & 0 < x < 1 \ x^2/2 - 3x/4 + 1/2, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$
Note que $F(1) = 1/4$.

Agora, aplicamos o método da transformação inversa para $u_1 = 0,2$ e $u_2 = 0,5$.

Para $u_1 = 0,2$:
Como $0 < u_1 < F(1) = 0,25$, usamos a primeira parte da CDF:
$u_1 = x_1/4$
$0,2 = x_1/4$
$x_1 = 0,2 \times 4 = 0,8$

Para $u_2 = 0,5$:
Como $u_2 > F(1) = 0,25$, usamos a segunda parte da CDF:
$u_2 = x_2^2/2 - 3x_2/4 + 1/2$
$0,5 = x_2^2/2 - 3x_2/4 + 1/2$
Subtraindo $1/2$de ambos os lados:$0 = x_2^2/2 - 3x_2/4$Multiplicando por 4:$0 = 2x_2^2 - 3x_2$Fatorando$x_2$:$0 = x_2(2x_2 - 3)$As soluções são$x_2 = 0$ou$2x_2 - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3/2 = 1,5$. Como estamos no intervalo$1 \leq x \leq 2$, a solução válida é$x_2 = 1,5$.

Finalmente, calculamos $x_1 + x_2$:
$x_1 + x_2 = 0,8 + 1,5 = 2,3$.

• (A) Correta: O valor de $x_1 + x_2$ é 2,3, conforme calculado aplicando corretamente o método da transformação inversa.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde à soma dos valores simulados.
• (C) Incorreta: Este valor é apenas $x_2$. A armadilha aqui é apresentar apenas um dos valores calculados como a resposta final.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde à soma dos valores simulados.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde à soma dos valores simulados.