Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 66)

Um modelo AR(1) (AutoRegressivo de ordem 1) descreve uma série temporal onde o valor atual ($Z_t$) depende linearmente do valor imediatamente anterior ($Z_{t-1}$) e de um ruído branco ($a_t$), que são choques aleatórios sem correlação e com média zero, representando a parte imprevisível do processo.

Para um processo AR(1) estacionário $Z_t = \phi_1 Z_{t-1} + a_t$, com $E[a_t]=0$ e $Var(a_t)=\sigma_a^2$:

1. A variância do processo ($\gamma_0$) é dada por $\gamma_0 = \frac{\sigma_a^2}{1 - \phi_1^2}$.
2. A função de autocovariância para um lag $j$ ($\gamma_j$) é dada por $\gamma_j = \phi_1^j \gamma_0$.

No problema:
$\phi_1 = 0.8$
$\sigma_a^2 = 1$ (variância unitária do ruído branco)

Cálculo da variância do processo ($\gamma_0$):
$\gamma_0 = \frac{1}{1 - (0.8)^2} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.36} \approx 2.777... \approx 2.78$

Cálculo da função de autocovariância para j = 2 ($\gamma_2$):
$\gamma_2 = (0.8)^2 \times \gamma_0 = 0.64 \times \frac{1}{0.36} = \frac{0.64}{0.36} = \frac{16}{9} \approx 1.777... \approx 1.78$

(A) Correta: Os valores calculados são 2,78 para a variância do processo e 1,78 para a autocovariância $\gamma_2$, que correspondem a esta alternativa.
(B) Incorreta: Ambos os valores apresentados estão incorretos, indicando prováveis erros de cálculo ou uso de fórmulas equivocadas.
(C) Incorreta: A variância do processo (3,65) está incorreta, enquanto a autocovariância $\gamma_2$ (1,78) está correta. O erro na variância pode vir de uma aplicação incorreta da fórmula.
(D) Incorreta: A variância do processo (2,78) está correta, mas a autocovariância $\gamma_2$ (2,15) está incorreta. Armadilha da banca: O valor 2,15 é próximo de $\gamma_1 = \phi_1 \gamma_0 = 0.8 \times 2.78 = 2.224$. O aluno pode ter calculado a autocovariância para $j=1$ em vez de $j=2$.
(E) Incorreta: A variância do processo (2,78) está correta, mas a autocovariância $\gamma_2$ (1,15) está incorreta, indicando um erro de cálculo ou aplicação de fórmula errada para $\gamma_2$.