Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 33)

Para resolver problemas de probabilidade com múltiplos eventos que podem se sobrepor, usamos o conceito de Diagramas de Venn ou o Princípio da Inclusão-Exclusão. Eles nos ajudam a visualizar e calcular as probabilidades de ocorrência de eventos específicos, como "gostar de apenas um candidato", separando as áreas de sobreposição.

Vamos usar as porcentagens dadas como probabilidades:

• P(A) = 50%
• P(B) = 60%
• P(C) = 55%
• P(A $\cap$ B) = 25% (gostam de A e B)
• P(A $\cap$ C) = 20% (gostam de A e C)
• P(B $\cap$ C) = 30% (gostam de B e C)
• P(Nenhum) = 5% (não gostam de nenhum)

Primeiro, calculamos a probabilidade de gostar de pelo menos um candidato:
P(A $\cup$ B $\cup$ C) = 100% - P(Nenhum) = 100% - 5% = 95%.

Agora, usamos a fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos para encontrar a probabilidade de gostar dos três candidatos, P(A $\cap$ B $\cap$ C):
P(A $\cup$ B $\cup$ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A $\cap$ B) - P(A $\cap$ C) - P(B $\cap$ C) + P(A $\cap$ B $\cap$ C)
95% = 50% + 60% + 55% - 25% - 20% - 30% + P(A $\cap$ B $\cap$ C)
95% = 165% - 75% + P(A $\cap$ B $\cap$ C)
95% = 90% + P(A $\cap$ B $\cap$ C)
P(A $\cap$ B $\cap$ C) = 95% - 90% = 5%. (Gostam de A, B e C)

Em seguida, calculamos as probabilidades de gostar de exatamente dois candidatos (sem o terceiro):

• P(A e B, mas não C) = P(A $\cap$ B) - P(A $\cap$ B $\cap$ C) = 25% - 5% = 20%
• P(A e C, mas não B) = P(A $\cap$ C) - P(A $\cap$ B $\cap$ C) = 20% - 5% = 15%
• P(B e C, mas não A) = P(B $\cap$ C) - P(A $\cap$ B $\cap$ C) = 30% - 5% = 25%

Agora, calculamos as probabilidades de gostar de exatamente um candidato:

• P(Somente A) = P(A) - P(A e B, mas não C) - P(A e C, mas não B) - P(A $\cap$ B $\cap$ C)
  P(Somente A) = 50% - 20% - 15% - 5% = 10%
• P(Somente B) = P(B) - P(A e B, mas não C) - P(B e C, mas não A) - P(A $\cap$ B $\cap$ C)
  P(Somente B) = 60% - 20% - 25% - 5% = 10%
• P(Somente C) = P(C) - P(A e C, mas não B) - P(B e C, mas não A) - P(A $\cap$ B $\cap$ C)
  P(Somente C) = 55% - 15% - 25% - 5% = 10%

A probabilidade de ele gostar de um e somente um candidato é a soma dessas probabilidades:
P(Exatamente um) = P(Somente A) + P(Somente B) + P(Somente C)
P(Exatamente um) = 10% + 10% + 10% = 30%.

(A) Incorreta: Esta alternativa (35%) seria a soma de "gostar de exatamente um" e "gostar de exatamente três" (10% + 10% + 10% + 5% = 35%). É um distrator comum que confunde "exatamente um" com "exatamente um ou exatamente três".
(B) Incorreta: Esta alternativa (20%) corresponde, por exemplo, à probabilidade de gostar de A e B, mas não C, ou de gostar de A e C, mas não B (se fosse 15%).
(C) Correta: A probabilidade de um associado gostar de um e somente um candidato é de 30%, calculada somando as probabilidades de gostar apenas de A, apenas de B e apenas de C.
(D) Incorreta: Esta alternativa (40%) não corresponde a nenhuma região específica ou soma de regiões calculadas no problema.
(E) Incorreta: Esta alternativa (25%) corresponde, por exemplo, à probabilidade de gostar de B e C, mas não A, ou de gostar de A e B (sem descontar o que gosta dos três).