Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 37)

A esperança condicional de uma variável aleatória Y dado que outra variável aleatória X assumiu um valor específico (digamos, $x_0$) é a média de Y, mas considerando apenas os casos em que X é igual a $x_0$. Para variáveis contínuas, isso envolve primeiro encontrar a função de densidade condicional de Y dado X=$x_0$, que é $f_{Y|X}(y|x_0) = \frac{f(x_0, y)}{f_X(x_0)}$, onde $f(x_0, y)$ é a densidade conjunta avaliada em $x_0$ e $f_X(x_0)$ é a densidade marginal de X avaliada em $x_0$. Depois, calcula-se a esperança como uma integral: $E(Y|X=x_0) = \int y \cdot f_{Y|X}(y|x_0) dy$.

Para resolver o problema:

1. Encontre a densidade marginal de X, $f_X(x)$:
   $f_X(x) = \int_0^1 f(x,y) dy = \int_0^1 \dfrac{3(x^2+y^2)}{2} dy = \dfrac{3}{2} \left[ x^2y + \dfrac{y^3}{3} \right]_0^1 = \dfrac{3}{2} \left( x^2(1) + \dfrac{1^3}{3} \right) = \dfrac{3}{2} \left( x^2 + \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{3x^2}{2} + \dfrac{1}{2}$ para $0 < x < 1$.

2. Calcule $f_X(1/2)$:
   $f_X(1/2) = \dfrac{3(1/2)^2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3/4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8}$.

3. Calcule $f(1/2, y)$:
   $f(1/2, y) = \dfrac{3((1/2)^2+y^2)}{2} = \dfrac{3(1/4+y^2)}{2} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{3y^2}{2}$.

4. Calcule a densidade condicional $f_{Y|X}(y|1/2)$:
   $f_{Y|X}(y|1/2) = \frac{f(1/2, y)}{f_X(1/2)} = \frac{\dfrac{3}{8} + \dfrac{3y^2}{2}}{\dfrac{7}{8}} = \frac{\dfrac{3+12y^2}{8}}{\dfrac{7}{8}} = \frac{3+12y^2}{7}$ para $0 < y < 1$.

5. Calcule a esperança condicional $E(Y|X = 1/2)$:
   $E(Y|X=1/2) = \int_0^1 y \cdot f_{Y|X}(y|1/2) dy = \int_0^1 y \cdot \left( \frac{3+12y^2}{7} \right) dy$
   $E(Y|X=1/2) = \frac{1}{7} \int_0^1 (3y+12y^3) dy = \frac{1}{7} \left[ \dfrac{3y^2}{2} + \dfrac{12y^4}{4} \right]_0^1$
   $E(Y|X=1/2) = \frac{1}{7} \left[ \dfrac{3y^2}{2} + 3y^4 \right]_0^1 = \frac{1}{7} \left( \left( \dfrac{3(1)^2}{2} + 3(1)^4 \right) - (0) \right)$
   $E(Y|X=1/2) = \frac{1}{7} \left( \dfrac{3}{2} + 3 \right) = \frac{1}{7} \left( \dfrac{3}{2} + \dfrac{6}{2} \right) = \frac{1}{7} \left( \dfrac{9}{2} \right) = \dfrac{9}{14}$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa não é resultado de um erro comum no cálculo da esperança condicional.
• (B) Incorreta: Armadilha da banca: Esta é a integral do numerador da esperança condicional ($\int_0^1 y(3+12y^2)dy = 9/2$), sem a divisão pelo fator de normalização $f_X(1/2)$. Um erro comum é esquecer que a densidade condicional deve ser normalizada (integrar a 1), usando $f(x_0, y)$ ou uma parte dela diretamente como densidade condicional.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria o resultado se a densidade condicional fosse incorretamente simplificada para $3y^2$ (que integra a 1, mas não é a densidade correta).
• (D) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que a esperança condicional de Y dado X = 1/2 é $\frac{9}{14}$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se houvesse um erro no cálculo da densidade marginal $f_X(1/2)$, por exemplo, se $f_X(1/2)$ fosse erroneamente calculado como $1/2 em vez de \7/8$.