Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 65)

Na Análise de Componentes Principais (ACP), a variância (informação) total de um conjunto de dados é distribuída entre novos eixos, chamados componentes principais. A proporção de explicação de cada componente principal é determinada pelo seu autovalor (ou valor próprio) dividido pela soma de todos os autovalores da matriz de covariância.

• Cálculo dos Autovalores:
  A matriz de covariância é $\Sigma = \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 2 & 2 \end{pmatrix}$.
  Para encontrar os autovalores ($\lambda$), resolvemos a equação característica $\det(\Sigma - \lambda I) = 0$:
  $\det \begin{pmatrix} 5-\lambda & 2 \ 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0$
  $(5-\lambda)(2-\lambda) - (2)(2) = 0$
  $10 - 5\lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 4 = 0$
  $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0$
  Fatorando a equação quadrática: $(\lambda - 1)(\lambda - 6) = 0$.
  Os autovalores são $\lambda_1 = 6$ e $\lambda_2 = 1$.

• Soma dos Autovalores:
  A soma total da variância (trace da matriz de covariância) é $\lambda_1 + \lambda_2 = 6 + 1 = 7$.

• Proporção de Explicação:
  A proporção de explicação para o primeiro componente principal ($Y_1$) é $\frac{\lambda_1}{\text{soma dos autovalores}} = \frac{6}{7}$.
  A proporção de explicação para o segundo componente principal ($Y_2$) é $\frac{\lambda_2}{\text{soma dos autovalores}} = \frac{1}{7}$.

Alternativas:
(A) Incorreta: Os autovalores calculados não resultam nessas proporções.
(B) Correta: As proporções de explicação são calculadas dividindo cada autovalor pela soma de todos os autovalores, resultando em $\frac{6}{7}$ e $\frac{1}{7}$.
(C) Incorreta: Os autovalores calculados não resultam nessas proporções.
(D) Incorreta: Os autovalores calculados não resultam nessas proporções.
(E) Incorreta: Os autovalores calculados não são iguais, portanto as proporções de explicação não podem ser $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$. A armadilha aqui seria assumir uma distribuição igual da variância sem realizar os cálculos dos autovalores.