Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 36)

Uma Função Densidade de Probabilidade (FDP) descreve a chance de uma variável aleatória contínua assumir um valor em um intervalo, e a área total sob sua curva deve ser igual a 1. A Esperança (E(X)) é o valor médio esperado da variável, calculado pela integral de $x \cdot f(x)$. A Moda é o valor de $x$ onde a FDP atinge seu ponto máximo.

Para resolver a questão, primeiro encontramos a constante $k$, depois a moda e, por fim, a esperança de X.

1. Cálculo da constante k:
   Para $f(x)$ ser uma FDP, a integral de $f(x)$ sobre seu domínio deve ser 1.
   $\int_0^3 k(-x^2 + 2x + 3) dx = 1$
   $k \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_0^3 = 1$
   $k \left[ \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3)\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 3(0)\right) \right] = 1$
   $k \left[ (-9 + 9 + 9) - 0 \right] = 1$
   $k(9) = 1 \implies k = \frac{1}{9}$.

2. Cálculo da Moda de X:
   A moda é o valor de $x$ que maximiza $f(x)$. Derivamos $f(x)$ e igualamos a zero:
   $f(x) = \frac{1}{9}(-x^2 + 2x + 3)$
   $f'(x) = \frac{1}{9}(-2x + 2)$
   $f'(x) = 0 \implies -2x + 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
   Para confirmar que é um máximo, a segunda derivada $f''(x) = -\frac{2}{9}$ é negativa, indicando um máximo.
   Portanto, a Moda de X é 1.

3. Cálculo da Esperança E(X):
   $E(X) = \int_0^3 x \cdot f(x) dx = \int_0^3 x \cdot \frac{1}{9}(-x^2 + 2x + 3) dx$
   $E(X) = \frac{1}{9} \int_0^3 (-x^3 + 2x^2 + 3x) dx$
   $E(X) = \frac{1}{9} \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^3$
   $E(X) = \frac{1}{9} \left[ \left(-\frac{3^4}{4} + \frac{2(3^3)}{3} + \frac{3(3^2)}{2}\right) - 0 \right]$
   $E(X) = \frac{1}{9} \left[ -\frac{81}{4} + \frac{54}{3} + \frac{27}{2} \right]$
   $E(X) = \frac{1}{9} \left[ -\frac{81}{4} + 18 + \frac{27}{2} \right]$
   Para somar as frações, usamos o denominador comum 4:
   $E(X) = \frac{1}{9} \left[ -\frac{81}{4} + \frac{72}{4} + \frac{54}{4} \right]$
   $E(X) = \frac{1}{9} \left[ \frac{-81 + 72 + 54}{4} \right] = \frac{1}{9} \left[ \frac{45}{4} \right]$
   $E(X) = \frac{45}{36} = \frac{5}{4}$.

4. Soma da Esperança com a Moda:
   Soma = $E(X) + \text{Moda}(X) = \frac{5}{4} + 1 = \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde à soma correta da esperança e da moda.
(B) Correta: A soma da esperança ($E(X) = \frac{5}{4}$) com a moda ($1$) é$\frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$. **(C) Incorreta:** Esta alternativa não corresponde à soma correta da esperança e da moda. **(D) Incorreta:**$\frac{5}{4}$é apenas o valor da esperança$E(X)$. A questão pede a soma da esperança com a moda, o que é uma armadilha comum para quem calcula apenas uma parte da resposta final.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde à soma correta da esperança e da moda.