Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 38)

O Teorema de Tchebichev nos dá uma estimativa mínima da probabilidade de uma variável aleatória estar dentro de um certo intervalo em torno de sua média, usando apenas a média e a variância, sem precisar conhecer a distribuição exata da variável.

Primeiro, calculamos a média ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$) da variável aleatória X.

1. A média $E(X) = \mu = 1$.
2. A variância $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$.
   $\sigma^2 = 5 - (1)^2 = 5 - 1 = 4$.
3. O desvio padrão $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4} = 2$.

O Teorema de Tchebichev afirma que $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$.
Queremos encontrar o menor valor possível para $P(-3 < X < 5)$.
Vamos reescrever a desigualdade $-3 < X < 5$ em termos de $|X - \mu|$:
Subtraindo a média $\mu = 1$ de todos os termos:
$-3 - 1 < X - 1 < 5 - 1$
$-4 < X - 1 < 4$
Esta desigualdade é equivalente a $|X - 1| < 4$.

Agora, comparamos $|X - 1| < 4$ com $|X - \mu| < k\sigma$.
Sabemos $\mu = 1$ e $\sigma = 2$.
Então, $k\sigma = 4 \implies k \times 2 = 4 \implies k = 2$.

Finalmente, aplicamos o Teorema de Tchebichev com $k=2$:
$P(|X - 1| < 4) \ge 1 - \frac{1}{2^2}$
$P(|X - 1| < 4) \ge 1 - \frac{1}{4}$
$P(|X - 1| < 4) \ge \frac{3}{4}$
Convertendo para porcentagem, $\frac{3}{4} = 0.75 = 75\%$.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao resultado calculado pelo Teorema de Tchebichev.
• (B) Incorreta: Esta alternativa (50%) seria obtida se o aluno esquecesse de elevar $k$ ao quadrado na fórmula do teorema ($1 - 1/k$, em vez de $1 - 1/k^2$), o que é uma armadilha comum em questões de Teorema de Tchebichev.
• (C) Correta: O cálculo usando o Teorema de Tchebichev resulta em 75%, que é o menor valor possível para a probabilidade.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao resultado calculado pelo Teorema de Tchebichev.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao resultado calculado pelo Teorema de Tchebichev.