Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 31)

As medidas de posição (média, mediana e moda) nos ajudam a entender o "centro" de um conjunto de dados, especialmente quando os dados estão agrupados em classes. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores; para dados agrupados, usamos os pontos médios das classes. A mediana é o valor central que divide os dados em duas metades iguais; para dados agrupados, ela é encontrada por interpolação na classe onde a frequência acumulada atinge 50%. A moda é o valor que aparece com maior frequência; a relação de Pearson é uma fórmula empírica que a estima a partir da média e da mediana.

Primeiro, calculamos as frequências relativas ($f_i$) a partir da relação dada:
$20f_1 = 8f_2 = 5f_3 = 10f_4 = 40f_5 = K$.
A soma das frequências relativas deve ser 1: $\sum f_i = 1$.
$K/20 + K/8 + K/5 + K/10 + K/40 = 1$
$K(2/40 + 5/40 + 8/40 + 4/40 + 1/40) = 1$
$K(20/40) = 1 \implies K(1/2) = 1 \implies K = 2$.
Assim, as frequências relativas são: $f_1 = 0.1$, $f_2 = 0.25$, $f_3 = 0.4$, $f_4 = 0.2$, $f_5 = 0.05$.

Em seguida, calculamos os pontos médios ($x_i$) de cada classe:
$x_1 = (2+4)/2 = 3$
$x_2 = (4+6)/2 = 5$
$x_3 = (6+8)/2 = 7$
$x_4 = (8+10)/2 = 9$
$x_5 = (10+12)/2 = 11$

Agora, calculamos a Média Aritmética (Me):
$Me = \sum x_i f_i = (3 \cdot 0.1) + (5 \cdot 0.25) + (7 \cdot 0.4) + (9 \cdot 0.2) + (11 \cdot 0.05)$
$Me = 0.3 + 1.25 + 2.8 + 1.8 + 0.55 = 6.70$ SM.

Para a Mediana (Md), precisamos das frequências relativas acumuladas ($F_i$):
$F_1 = 0.1$
$F_2 = 0.1 + 0.25 = 0.35$
$F_3 = 0.35 + 0.4 = 0.75$ (A classe mediana é [6, 8[, pois $F_3 \ge 0.5$)
$F_4 = 0.75 + 0.2 = 0.95$
$F_5 = 0.95 + 0.05 = 1.0$
Usando a fórmula de interpolação linear para a mediana: $Md = L + \left( \frac{0.5 - F_{ant}}{f_{med}} \right) \cdot h$
Onde $L=6$, $F_{ant}=0.35$, $f_{med}=0.4$ e $h=2$.
$Md = 6 + \left( \frac{0.5 - 0.35}{0.4} \right) \cdot 2 = 6 + \left( \frac{0.15}{0.4} \right) \cdot 2 = 6 + (0.375) \cdot 2 = 6 + 0.75 = 6.75$ SM.

Finalmente, calculamos a Moda (Mo) usando a relação de Pearson: $Mo = 3Md - 2Me$.
$Mo = 3 \cdot (6.75) - 2 \cdot (6.70) = 20.25 - 13.40 = 6.85$ SM.

O valor calculado é 6.85 SM. No entanto, o gabarito oficial indica a alternativa D) 5,85. Para que o resultado seja 5,85, mantendo a mediana calculada (Md = 6.75), a média (Me) teria que ser 7.20 (pois $3 \cdot 6.75 - 2 \cdot 7.20 = 20.25 - 14.40 = 5.85$). Como a média calculada a partir dos dados é 6.70, há uma inconsistência entre os dados fornecidos e o gabarito. A "armadilha" pode ser um erro de cálculo na média ou na subtração final.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado nem ao gabarito.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado nem ao gabarito.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado nem ao gabarito.
• (D) Correta: Embora o cálculo correto a partir dos dados fornecidos leve a 6.85 SM, esta é a alternativa indicada como correta pelo gabarito oficial. Para que a moda fosse 5.85, a média aritmética (Me) deveria ser 7.20 SM, mantendo a mediana em 6.75 SM. A obtenção de 5.85 a partir de Me=6.70 e Md=6.75 implicaria um erro de cálculo na etapa final da fórmula de Pearson (por exemplo, $20.25 - 13.40 = 5.85 em vez de \6.85$).
• (E) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado nem ao gabarito.