Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 35)

A probabilidade condicional nos ajuda a calcular a chance de um evento acontecer depois que já sabemos que outro evento ocorreu. O Teorema de Bayes é uma ferramenta para fazer esse cálculo, atualizando nossas chances iniciais com novas informações.

• Dados do problema:

  • Probabilidade de um produto vir de X: $P(X) = 0.50$
  • Probabilidade de um produto vir de Y: $P(Y) = 0.30$
  • Probabilidade de um produto vir de Z: $P(Z) = 0.20$
  • Probabilidade de rejeição se veio de X: $P(R|X) = 0.10$
  • Probabilidade de rejeição se veio de Y: $P(R|Y) = 0.08$
  • Probabilidade de rejeição se veio de Z: $P(R|Z) = 0.05$

• Passo 1: Calcular a probabilidade total de um produto ser rejeitado ($P(R)$).
  Usamos a Lei da Probabilidade Total:
  $P(R) = P(R|X)P(X) + P(R|Y)P(Y) + P(R|Z)P(Z)$
  $P(R) = (0.10)(0.50) + (0.08)(0.30) + (0.05)(0.20)$
  $P(R) = 0.050 + 0.024 + 0.010 = 0.084$

• Passo 2: Calcular a probabilidade de um produto rejeitado ter vindo de X ($P(X|R)$).
  Usamos o Teorema de Bayes:
  $P(X|R) = \frac{P(R|X)P(X)}{P(R)} = \frac{(0.10)(0.50)}{0.084} = \frac{0.050}{0.084}$

• Passo 3: Calcular a probabilidade de um produto rejeitado ter vindo de Z ($P(Z|R)$).
  Usamos o Teorema de Bayes:
  $P(Z|R) = \frac{P(R|Z)P(Z)}{P(R)} = \frac{(0.05)(0.20)}{0.084} = \frac{0.010}{0.084}$

• Passo 4: Calcular a probabilidade de um produto rejeitado ter vindo de X ou de Z ($P(X \cup Z | R)$).
  Como os fornecedores são eventos mutuamente exclusivos (um produto vem de apenas um fornecedor), somamos as probabilidades:
  $P(X \cup Z | R) = P(X|R) + P(Z|R)$
  $P(X \cup Z | R) = \frac{0.050}{0.084} + \frac{0.010}{0.084} = \frac{0.050 + 0.010}{0.084} = \frac{0.060}{0.084}$

• Passo 5: Simplificar a fração.
  $\frac{0.060}{0.084} = \frac{60}{84}$
  Dividindo o numerador e o denominador por 12:
  $\frac{60 \div 12}{84 \div 12} = \frac{5}{7}$

(A) Correta: O cálculo detalhado acima mostra que a probabilidade de o produto rejeitado ter vindo de X ou de Z é $\frac{5}{7}$.
(B) Incorreta: Esta alternativa, $\frac{37}{42}$, seria a probabilidade de o produto rejeitado ter vindo de X ou de Y ($P(X|R) + P(Y|R) = \frac{0.050}{0.084} + \frac{0.024}{0.084} = \frac{0.074}{0.084} = \frac{74}{84} = \frac{37}{42}$). A armadilha da banca aqui é induzir o aluno a trocar Z por Y, talvez por um erro de leitura rápida do "X ou Z".
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum cálculo direto ou erro comum esperado neste tipo de problema.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum cálculo direto ou erro comum esperado neste tipo de problema.
(E) Incorreta: Esta alternativa, $\frac{5}{42}$, corresponde apenas à probabilidade de o produto rejeitado ter vindo de Z ($P(Z|R) = \frac{0.010}{0.084} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$). A armadilha aqui é calcular apenas uma das partes da união ("X ou Z") e esquecer de somar a outra.