Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 64)

A variância mede o quão espalhados os valores de uma variável aleatória estão em torno de sua média. Para a soma de duas variáveis aleatórias $X_1$ e $X_2$, a variância é dada pela fórmula $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + 2 \text{Cov}(X_1, X_2)$, onde $\text{Cov}(X_1, X_2)$ é a covariância, que indica como as duas variáveis se movem juntas.

A matriz de covariância $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$ nos fornece as seguintes informações:

• A variância de $X_1$ é o elemento na primeira linha, primeira coluna: $\text{Var}(X_1) = 1$.
• A variância de $X_2$ é o elemento na segunda linha, segunda coluna: $\text{Var}(X_2) = 2$.
• A covariância entre $X_1$ e $X_2$ é o elemento fora da diagonal principal: $\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$.

Agora, aplicamos a fórmula para a variância de $Y = X_1 + X_2$:
$\text{Var}(Y) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + 2 \text{Cov}(X_1, X_2)$
$\text{Var}(Y) = 1 + 2 + 2(0)$
$\text{Var}(Y) = 3$

• (A) Incorreta: Este valor (2) corresponde apenas à variância de $X_2$, e não à variância da soma $X_1+X_2$. É uma armadilha comum para quem não aplica a fórmula completa da variância da soma.
• (B) Incorreta: Não há cálculo direto que leve a este valor a partir dos dados fornecidos.
• (C) Incorreta: Não há cálculo direto que leve a este valor a partir dos dados fornecidos.
• (D) Correta: O valor 3 é obtido pela soma das variâncias de $X_1$ e $X_2$, mais duas vezes a covariância entre eles. Como a covariância é 0, a variância da soma se simplifica para a soma das variâncias: $\text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = 1 + 2 = 3$.
• (E) Incorreta: Não há cálculo direto que leve a este valor a partir dos dados fornecidos.