Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 63)

O conceito-chave aqui é o modelo de filas M/M/1, que descreve um sistema onde as chegadas de clientes (pacientes) seguem um processo de Poisson (chegam aleatoriamente com uma taxa média $\lambda$), o tempo de serviço (consulta) segue uma distribuição exponencial (o tempo de atendimento é aleatório com uma taxa média $\mu$), e há um único servidor (o médico). A disciplina FIFO significa "First In, First Out" (o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido).

Dados do problema:

• Taxa de chegada ($\lambda$): 5 pacientes/hora
• Tempo médio de consulta: 1/6 de hora
• Taxa de serviço ($\mu$): 1 / (tempo médio de consulta) = 1 / (1/6) = 6 pacientes/hora
• Intensidade de tráfego ($\rho$): $\lambda / \mu = 5 / 6$
• Probabilidade de o paciente "ficar em pé" ($P_{em\_pé}$): $P_{em\_pé} < 0.10$

Interpretação da questão (a "pegadinha"):
A frase "probabilidade do paciente chegar e ficar em pé" sugere que o paciente não é rejeitado do sistema (como seria em um modelo M/M/1/K de capacidade finita onde clientes são perdidos), mas sim que ele entra na fila, porém não encontra um assento. Se há $N_w$ lugares na sala de espera, um paciente terá que ficar em pé se, ao chegar, já houver $N_w$ pacientes na fila. Isso significa que há $N_w$ pacientes na fila mais 1 paciente sendo atendido, totalizando $N_w+1$ pacientes no sistema.
Para um sistema M/M/1 de capacidade infinita, a probabilidade de haver $n$ ou mais pacientes no sistema é dada por $P(N \ge n) = \rho^n$.
Portanto, a probabilidade de um paciente ter que ficar em pé é $P(N \ge N_w+1) = \rho^{N_w+1}$.

Cálculo:
Queremos encontrar o menor $N_w$ tal que $P(N \ge N_w+1) < 0.10$.
$\rho^{N_w+1} < 0.10$
$(5/6)^{N_w+1} < 0.10$

Para resolver essa inequação, aplicamos o logaritmo na base 10 em ambos os lados:
$\log_{10}((5/6)^{N_w+1}) < \log_{10}(0.10)$
$(N_w+1) \log_{10}(5/6) < -1$

Usando os dados fornecidos:
$\log_{10}(5/6) = \log_{10} 5 - \log_{10} 6 = 0.70 - 0.78 = -0.08$ (usando os valores arredondados do problema para ser consistente, embora com mais casas decimais seja -0.0792)

$(N_w+1) \times (-0.08) < -1$

Ao dividir por um número negativo, a direção da inequação se inverte:
$N_w+1 > \frac{-1}{-0.08}$
$N_w+1 > 12.5$

Como $N_w$ deve ser um número inteiro (número de lugares), o menor valor inteiro para $N_w+1$ que satisfaz a condição é 13.
$N_w+1 = 13 \implies N_w = 12$.

Portanto, são necessários 12 lugares na sala de espera.

(A) Incorreta: 15. Com 15 lugares, a probabilidade seria ainda menor que 10%, mas não é o número mínimo.
(B) Incorreta: 18. Com 18 lugares, a probabilidade seria ainda menor que 10%, mas não é o número mínimo.
(C) Incorreta: 20. Com 20 lugares, a probabilidade seria ainda menor que 10%, mas não é o número mínimo.
(D) Incorreta: 9. Se $N_w=9$, então $N_w+1=10$. A probabilidade de ficar em pé seria $(5/6)^{10}$. Usando $\log_{10}(5/6) \approx -0.08$, temos $10 \times (-0.08) = -0.8$. $10^{-0.8} \approx 0.158$. Como $0.158 \not< 0.10$, 9 lugares não são suficientes. Armadilha da banca: Esta alternativa é tentadora se o cálculo for feito de forma imprecisa ou se a interpretação da fórmula for ligeiramente diferente, mas o cálculo exato mostra que não atende à condição.
(E) Correta: 12. Se $N_w=12$, então $N_w+1=13$. A probabilidade de ficar em pé seria $(5/6)^{13}$. Usando $\log_{10}(5/6) \approx -0.08$, temos $13 \times (-0.08) = -1.04$. $10^{-1.04} \approx 0.091$. Como $0.091 < 0.10$, 12 lugares são suficientes. É o número mínimo que satisfaz a condição, pois para 11 lugares ($N_w+1=12$), a probabilidade seria$(5/6)^{12} \approx 0.112$, que é maior que 0.10.