Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 62)

Um Processo de Wiener (ou movimento browniano padrão) é um modelo matemático para movimentos aleatórios contínuos, onde os incrementos (mudanças) em intervalos de tempo disjuntos são independentes e seguem uma distribuição normal.

• (A) Incorreta: A média de $W_s + W_t$ é $E[W_s] + E[W_t] = 0 + 0 = 0$, não 1. A variância $st$ também está incorreta.
• (B) Correta: A média de $W_s + W_t$ é $E[W_s] + E[W_t] = 0 + 0 = 0$. Para a variância, usamos $Var[W_s + W_t] = Var[W_s] + Var[W_t] + 2Cov(W_s, W_t)$. Sabemos que $Var[W_s] = s$ e $Var[W_t] = t$. Para a covariância, $Cov(W_s, W_t) = E[W_s W_t] - E[W_s]E[W_t] = E[W_s W_t]$ (já que as médias são zero). Assumindo $s \le t$, podemos escrever $W_t = W_s + (W_t - W_s)$. Então $E[W_s W_t] = E[W_s(W_s + (W_t - W_s))] = E[W_s^2] + E[W_s(W_t - W_s)]$. Sabemos que $E[W_s^2] = Var[W_s] + (E[W_s])^2 = s + 0^2 = s$. Pela propriedade de incrementos independentes, $W_s$ e $W_t - W_s$ são independentes (pois são incrementos em intervalos disjuntos $[0, s]$ e $[s, t]$). Assim, $E[W_s(W_t - W_s)] = E[W_s]E[W_t - W_s] = 0 \times 0 = 0$. Portanto, $Cov(W_s, W_t) = s$. Substituindo na fórmula da variância: $Var[W_s + W_t] = s + t + 2s = 3s + t$.
• (C) Incorreta: A média de $W_s + W_t$ é 0, não 1. A variância $s+t$ seria correta apenas se $W_s$ e $W_t$ fossem variáveis aleatórias independentes, o que não é o caso para o Processo de Wiener.
• (D) Incorreta: A média está correta (0). A variância $s+3t$ seria o resultado se a covariância $Cov(W_s, W_t)$ fosse $t$ (o que acontece se $t \le s$). A armadilha da banca aqui é que a questão não especifica a relação entre $s$ e $t$. Se $s \le t$, a covariância é $s$, levando a $3s+t$. Se $t \le s$, a covariância é $t$, levando a $s+3t$. Como a alternativa B é o gabarito, assume-se implicitamente $s \le t$.
• (E) Incorreta: A média está correta (0). A variância $(st)^2$ está incorreta; não há fundamento para essa forma.