Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 61)

O tempo médio de retorno a um estado em uma cadeia de Markov é o inverso da probabilidade estacionária desse estado, que representa a frequência com que o sistema visita esse estado a longo prazo.

Contexto do problema:
Temos um passeio aleatório simétrico com barreiras refletoras nas posições 0 e 100, em um espaço de estados $\{0, 1, \dots, 100\}$.
As regras de transição são:

• De 0, vai para 1 com probabilidade 1 ($P_{0,1}=1$).
• De 100, vai para 99 com probabilidade 1 ($P_{100,99}=1$).
• De qualquer $i \in \{1, \dots, 99\}$, vai para $i-1$ com probabilidade 0.5 e para $i+1$ com probabilidade 0.5 ($P_{i,i-1}=0.5, P_{i,i+1}=0.5$).

Para encontrar o tempo médio de retorno ao estado 0, $E_0(0)$, precisamos primeiro encontrar a probabilidade estacionária de 0, $\pi_0$. Para cadeias de Markov reversíveis (como passeios aleatórios simétricos), a distribuição estacionária $\pi_i$ pode ser encontrada usando as equações de balanço detalhado: $\pi_i P_{ij} = \pi_j P_{ji}$.

1. Relação entre $\pi_0$ e $\pi_1$:
   $\pi_0 P_{0,1} = \pi_1 P_{1,0} \implies \pi_0 \cdot 1 = \pi_1 \cdot 0.5 \implies \pi_1 = 2\pi_0$.

2. Relação entre $\pi_i$ e $\pi_{i+1}$ para estados internos:
   Para $i \in \{1, \dots, 98\}$:
   $\pi_i P_{i,i+1} = \pi_{i+1} P_{i+1,i} \implies \pi_i \cdot 0.5 = \pi_{i+1} \cdot 0.5 \implies \pi_i = \pi_{i+1}$.
   Isso significa que $\pi_1 = \pi_2 = \dots = \pi_{99}$.

3. Relação entre $\pi_{99}$ e $\pi_{100}$:
   $\pi_{99} P_{99,100} = \pi_{100} P_{100,99} \implies \pi_{99} \cdot 0.5 = \pi_{100} \cdot 1 \implies \pi_{99} = 2\pi_{100}$.

Combinando as relações:

• $\pi_1 = 2\pi_0$.
• $\pi_j = \pi_1$ para $j \in \{1, \dots, 99\}$, então $\pi_j = 2\pi_0$ para $j \in \{1, \dots, 99\}$.
• $\pi_{99} = 2\pi_{100} \implies 2\pi_0 = 2\pi_{100} \implies \pi_{100} = \pi_0$.

Agora, normalizamos as probabilidades: $\sum_{i=0}^{100} \pi_i = 1$.
$\pi_0 + \sum_{j=1}^{99} \pi_j + \pi_{100} = 1$
$\pi_0 + 99 \cdot (2\pi_0) + \pi_0 = 1$
$\pi_0 + 198\pi_0 + \pi_0 = 1$
$200\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{200}$.

O tempo médio de retorno ao estado 0 é $E_0(0) = \frac{1}{\pi_0}$.
$E_0(0) = \frac{1}{1/200} = 200$.

(A) Incorreta: Não há fundamento teórico para este valor neste tipo de passeio aleatório.
(B) Incorreta: Não há fundamento teórico para este valor neste tipo de passeio aleatório.
(C) Incorreta: Não há fundamento teórico para este valor neste tipo de passeio aleatório.
(D) Incorreta: Este valor seria obtido se a probabilidade estacionária de 0 fosse $1/400$, o que não é o caso. **(E) Correta:** O tempo médio de retorno a um estado é o inverso da sua probabilidade estacionária. Para este passeio aleatório com barreiras refletoras, a probabilidade estacionária do estado 0 é$\pi_0 = 1/200, resultando em um tempo médio de retorno de \1/(1/200) = 200$. A armadilha comum seria confundir este passeio com um em um círculo de 100 estados (onde o tempo de retorno seria 100) ou assumir uma distribuição estacionária uniforme, que não se aplica devido às barreiras refletoras que "pesam" os estados das extremidades de forma diferente dos estados internos.